Страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

330. Дробь представить в виде степени и найти её значение при данном значении $a$:

1) $\frac{a^8 a^{-7}}{a^{-2}}$, $a=0,8$;

2) $\frac{a^{15}a^3}{a^{13}}$, $a=\frac{1}{2}$.

1) Сначала представим дробь $\frac{a^8 a^{-7}}{a^{-2}}$ в виде степени. Для этого последовательно применим свойства степеней.

Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^8 a^{-7} = a^{8+(-7)} = a^1 = a$

Теперь выражение имеет вид $\frac{a}{a^{-2}}$.

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^1}{a^{-2}} = a^{1 - (-2)} = a^{1+2} = a^3$

Таким образом, мы представили дробь в виде степени: $a^3$.

Теперь найдем значение этого выражения при $a = 0,8$:

$a^3 = (0,8)^3 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \cdot 0,8 = 0,512$

Ответ: $a^3$; 0,512.

2) Представим дробь $\frac{a^{15} a^3}{a^{13}}$ в виде степени.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^{15} a^3 = a^{15+3} = a^{18}$

Теперь дробь выглядит так: $\frac{a^{18}}{a^{13}}$.

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{18}}{a^{13}} = a^{18-13} = a^5$

Таким образом, мы представили дробь в виде степени: $a^5$.

Теперь найдем значение этого выражения при $a = \frac{1}{2}$:

$a^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Ответ: $a^5$; $\frac{1}{32}$.

331. Вычислить:

1) $(((-20)^7)^{-7} : ((-20)^{-6})^8 + 2^{-2};$

2) $(((-17)^{-4})^{-6} : ((-17)^{-13})^{-2} - \left(\frac{1}{17}\right)^2.$

1) Решим выражение $ ((-20)^7)^{-7} : ((-20)^{-6})^8 + 2^{-2} $ по действиям.

Сначала упростим выражения в скобках, используя свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

Для первого слагаемого:

$ ((-20)^7)^{-7} = (-20)^{7 \cdot (-7)} = (-20)^{-49} $

Для делителя:

$ ((-20)^{-6})^8 = (-20)^{-6 \cdot 8} = (-20)^{-48} $

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $ a^m : a^n = a^{m-n} $:

$ (-20)^{-49} : (-20)^{-48} = (-20)^{-49 - (-48)} = (-20)^{-49 + 48} = (-20)^{-1} $

Выражение принимает вид: $ (-20)^{-1} + 2^{-2} $.

Теперь вычислим значения слагаемых, используя правило отрицательной степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$ (-20)^{-1} = \frac{1}{(-20)^1} = -\frac{1}{20} $

$ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $

Выполним сложение полученных дробей, приведя их к общему знаменателю 20:

$ -\frac{1}{20} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{1}{20} + \frac{5}{20} = \frac{-1+5}{20} = \frac{4}{20} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $

2) Решим выражение $ ((-17)^{-4})^{-6} : ((-17)^{-13})^{-2} - (-\frac{1}{17})^2 $ по действиям.

Сначала упростим выражения в скобках, используя свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

Для делимого:

$ ((-17)^{-4})^{-6} = (-17)^{(-4) \cdot (-6)} = (-17)^{24} $

Для делителя:

$ ((-17)^{-13})^{-2} = (-17)^{(-13) \cdot (-2)} = (-17)^{26} $

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $ a^m : a^n = a^{m-n} $:

$ (-17)^{24} : (-17)^{26} = (-17)^{24 - 26} = (-17)^{-2} $

Выражение принимает вид: $ (-17)^{-2} - (-\frac{1}{17})^2 $.

Вычислим значение первого члена. Так как показатель степени (-2) четный, знак основания не влияет на результат. Используем правило отрицательной степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$ (-17)^{-2} = \frac{1}{(-17)^2} = \frac{1}{17^2} = \frac{1}{289} $

Вычислим значение второго члена. Так как показатель степени 2 четный, знак минус в скобках исчезает:

$ (-\frac{1}{17})^2 = (\frac{1}{17})^2 = \frac{1^2}{17^2} = \frac{1}{289} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{1}{289} - \frac{1}{289} = 0 $

Ответ: $ 0 $

332. Применить свойства степени и вычислить на калькуляторе с точностью до 0,01:

1) $(1,3)^{-118} \cdot (1,3)^{127}$;

2) $(0,87)^{-74} : (0,87)^{-80}$;

3) $\left(\frac{17}{19}\right)^{-47} : \left(\frac{17}{19}\right)^{-51}$;

4) $\left(\frac{23}{21}\right)^{56} \cdot \left(\frac{23}{21}\right)^{-52}$.

1)

Для вычисления выражения $(1,3)^{-118} \cdot (1,3)^{127}$ применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае основание $a = 1,3$, а показатели степеней $m = -118$ и $n = 127$.

$(1,3)^{-118} \cdot (1,3)^{127} = (1,3)^{-118 + 127} = (1,3)^9$.

Теперь вычислим значение $(1,3)^9$ на калькуляторе:

$(1,3)^9 \approx 10,604499...$

Округляя результат с точностью до 0,01 (до сотых), получаем $10,60$.

Ответ: $10,60$.

2)

Для вычисления выражения $(0,87)^{-74} : (0,87)^{-80}$ применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Здесь основание $a = 0,87$, а показатели степеней $m = -74$ и $n = -80$.

$(0,87)^{-74} : (0,87)^{-80} = (0,87)^{-74 - (-80)} = (0,87)^{-74 + 80} = (0,87)^6$.

Теперь вычислим значение $(0,87)^6$ на калькуляторе:

$(0,87)^6 \approx 0,433626...$

Округляя результат с точностью до 0,01, получаем $0,43$.

Ответ: $0,43$.

3)

Для вычисления выражения $(\frac{17}{19})^{-47} : (\frac{17}{19})^{-51}$ применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В этом примере основание $a = \frac{17}{19}$, а показатели степеней $m = -47$ и $n = -51$.

$(\frac{17}{19})^{-47} : (\frac{17}{19})^{-51} = (\frac{17}{19})^{-47 - (-51)} = (\frac{17}{19})^{-47 + 51} = (\frac{17}{19})^4$.

Теперь вычислим значение $(\frac{17}{19})^4$ на калькуляторе:

$(\frac{17}{19})^4 \approx (0,8947...)^4 \approx 0,64088...$

Округляя результат с точностью до 0,01, получаем $0,64$.

Ответ: $0,64$.

4)

Для вычисления выражения $(\frac{23}{21})^{56} \cdot (\frac{23}{21})^{-52}$ применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Здесь основание $a = \frac{23}{21}$, а показатели степеней $m = 56$ и $n = -52$.

$(\frac{23}{21})^{56} \cdot (\frac{23}{21})^{-52} = (\frac{23}{21})^{56 + (-52)} = (\frac{23}{21})^{56-52} = (\frac{23}{21})^4$.

Теперь вычислим значение $(\frac{23}{21})^4$ на калькуляторе:

$(\frac{23}{21})^4 \approx (1,0952...)^4 \approx 1,43891...$

Округляя результат с точностью до 0,01, получаем $1,44$.

Ответ: $1,44$.

333. Упростить:

1) $ (a^{-3} + b^{-3}) \cdot (a^{-2} - b^{-2})^{-1} \cdot (a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} $;

2) $ (a^{-2}b - ab^{-2}) \cdot (a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} $.

1)

Исходное выражение: $(a^{-3} + b^{-3}) \cdot (a^{-2} - b^{-2})^{-1} \cdot (a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1}$.
Для упрощения введем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$(x^3 + y^3) \cdot (x^2 - y^2)^{-1} \cdot (x^2 - xy + y^2)^{-1}$.
Используя свойство степени $z^{-n} = \frac{1}{z^n}$, представим выражение в виде дроби:
$\frac{x^3 + y^3}{(x^2 - y^2)(x^2 - xy + y^2)}$.
Теперь применим формулы сокращенного умножения:

• Сумма кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
• Разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Подставим эти формулы в наше выражение:
$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{(x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)}$.
Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x^2 - xy + y^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{x-y}$.
Выполним обратную замену, подставив $x = a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $y = b^{-1} = \frac{1}{b}$:
$\frac{1}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{b-a}{ab}} = \frac{ab}{b-a}$.

Ответ: $\frac{ab}{b-a}$.

2)

Исходное выражение: $(a^{-2}b - ab^{-2}) \cdot (a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1}$.
Преобразуем каждый множитель, используя свойство отрицательной степени $z^{-n} = \frac{1}{z^n}$.
Преобразование первого множителя:
$a^{-2}b - ab^{-2} = \frac{b}{a^2} - \frac{a}{b^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{b \cdot b^2}{a^2b^2} - \frac{a \cdot a^2}{a^2b^2} = \frac{b^3 - a^3}{a^2b^2}$.
Преобразование второго множителя:
$(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} = (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2})^{-1}$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $a^2b^2$:
$(\frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{ab}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2})^{-1} = (\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2})^{-1}$.
Теперь применим свойство $z^{-1} = \frac{1}{z}$:
$\frac{a^2b^2}{a^2 + ab + b^2}$.
Перемножим полученные преобразованные выражения:
$\frac{b^3 - a^3}{a^2b^2} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 + ab + b^2}$.
Сократим $a^2b^2$. В числителе применим формулу разности кубов $b^3 - a^3 = (b-a)(b^2 + ab + a^2)$:
$\frac{(b-a)(b^2 + ab + a^2)}{a^2 + ab + b^2}$.
Сократим общий множитель $(a^2 + ab + b^2)$:
$b-a$.

Ответ: $b-a$.