Страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

320. 1) $3^{-1} + (-2)^{-2};$

2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} - 4^{-2};$

3) $(0,2)^{-2} + (0,5)^{-5};$

4) $(-0,1)^{-3} - (-0,2)^{-3}.$

1) $3^{-1} + (-2)^{-2}$

Для решения этого примера воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Второе слагаемое: $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$. Обратите внимание, что четная степень отрицательного числа дает положительный результат.

Теперь сложим полученные дроби: $3^{-1} + (-2)^{-2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 - это 12.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

2) $(\frac{2}{3})^{-3} - 4^{-2}$

Для решения воспользуемся правилами для степеней с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Вычислим уменьшаемое: $(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.

Вычислим вычитаемое: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{27}{8} - \frac{1}{16}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 16.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{16} = \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{1}{16} = \frac{54}{16} - \frac{1}{16} = \frac{54-1}{16} = \frac{53}{16}$.

Ответ: $\frac{53}{16}$.

3) $(0,2)^{-2} + (0,5)^{-5}$

Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Теперь выражение выглядит так: $(\frac{1}{5})^{-2} + (\frac{1}{2})^{-5}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Вычислим первое слагаемое: $(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.

Вычислим второе слагаемое: $(\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{2}{1})^5 = 2^5 = 32$.

Сложим полученные значения: $25 + 32 = 57$.

Ответ: 57.

4) $(-0,1)^3 - (-0,2)^{-3}$

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений.

$-0,1 = -\frac{1}{10}$

$-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Выражение принимает вид: $(-\frac{1}{10})^3 - (-\frac{1}{5})^{-3}$.

Вычислим уменьшаемое. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется:

$(-\frac{1}{10})^3 = -\frac{1^3}{10^3} = -\frac{1}{1000} = -0,001$.

Теперь вычислим вычитаемое. Сначала применим правило для отрицательной степени:

$(-\frac{1}{5})^{-3} = (-\frac{5}{1})^3 = (-5)^3$.

Возведем в куб. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется: $(-5)^3 = -125$.

Теперь выполним вычитание: $-0,001 - (-125) = -0,001 + 125$.

Выполним сложение: $125 - 0,001 = 124,999$.

Ответ: 124,999.

321. (Устно.) Сравнить с единицей:

1) $12^{-3}$;

2) $21^0$;

3) $(0,6)^{-5}$;

4) $\left(\frac{5}{19}\right)^{-4}$.

1) Чтобы сравнить выражение $12^{-3}$ с единицей, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применив это свойство, получаем: $12^{-3} = \frac{1}{12^3}$.
Основание степени 12 больше 1, поэтому и $12^3$ будет числом, большим 1. В частности, $12^3 = 1728$.
Выражение принимает вид $\frac{1}{1728}$. Это правильная дробь, так как ее числитель меньше знаменателя, поэтому ее значение меньше 1.
Таким образом, $12^{-3} < 1$.
Ответ: $12^{-3} < 1$.

2) Для сравнения выражения $21^0$ с единицей, используем свойство степени с нулевым показателем: любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$).
Поскольку основание степени $21 \neq 0$, то $21^0 = 1$.
Ответ: $21^0 = 1$.

3) Чтобы сравнить $(0,6)^{-5}$ с единицей, можно использовать общее правило: если основание степени $a$ находится в интервале $0 < a < 1$, то при возведении в отрицательную степень результат будет больше 1.
Для подробного решения представим $0,6$ в виде обыкновенной дроби и применим свойства степеней.
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Следовательно, $(0,6)^{-5} = (\frac{3}{5})^{-5}$.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{5})^{-5} = (\frac{5}{3})^5$.
Новое основание степени $\frac{5}{3}$ больше 1. При возведении числа, большего 1, в положительную степень, результат также будет больше 1.
Следовательно, $(0,6)^{-5} > 1$.
Ответ: $(0,6)^{-5} > 1$.

4) Для сравнения выражения $(\frac{5}{19})^{-4}$ с единицей, применим свойство степени с отрицательным показателем для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{5}{19})^{-4} = (\frac{19}{5})^4$.
Основание исходной степени $\frac{5}{19}$ меньше 1. После преобразования мы получили новое основание $\frac{19}{5}$. Так как числитель 19 больше знаменателя 5, дробь $\frac{19}{5}$ больше 1.
При возведении числа, большего 1, в положительную степень (в данном случае в 4-ю), результат всегда будет больше 1.
Следовательно, $(\frac{5}{19})^{-4} > 1$.
Ответ: $(\frac{5}{19})^{-4} > 1$.

322. Записать без степеней с отрицательным показателем:

1) $(x-y)^{-2};$

2) $(x+y)^{-3};$

3) $3b^{-5}c^8;$

4) $9a^3b^{-4};$

5) $a^{-1}b^2c^{-3};$

6) $a^2b^{-1}c^{-4}.$

Чтобы записать выражения без степеней с отрицательным показателем, используется основное свойство степени с целым отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого числа $a \neq 0$ и целого положительного числа $n$. Это означает, что любое выражение в отрицательной степени можно представить в виде дроби, где в числителе стоит единица, а в знаменателе — то же выражение, но с положительным показателем степени.

1) В выражении $(x-y)^{-2}$ основание степени — это $(x-y)$, а показатель — $-2$. Применяя правило, получаем:

$(x-y)^{-2} = \frac{1}{(x-y)^2}$

Ответ: $\frac{1}{(x-y)^2}$

2) В выражении $(x+y)^{-3}$ основание степени — это $(x+y)$, а показатель — $-3$. Применяя правило, получаем:

$(x+y)^{-3} = \frac{1}{(x+y)^3}$

Ответ: $\frac{1}{(x+y)^3}$

3) В выражении $3b^{-5}c^8$ отрицательная степень относится только к переменной $b$. Переменная $c$ имеет положительную степень, а число 3 является коэффициентом. Преобразуем только $b^{-5}$:

$b^{-5} = \frac{1}{b^5}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$3b^{-5}c^8 = 3 \cdot \frac{1}{b^5} \cdot c^8 = \frac{3c^8}{b^5}$

Ответ: $\frac{3c^8}{b^5}$

4) В выражении $9a^3b^{-4}$ отрицательная степень относится только к переменной $b$. Преобразуем $b^{-4}$:

$b^{-4} = \frac{1}{b^4}$

Подставляем в исходное выражение:

$9a^3b^{-4} = 9a^3 \cdot \frac{1}{b^4} = \frac{9a^3}{b^4}$

Ответ: $\frac{9a^3}{b^4}$

5) В выражении $a^{-1}b^2c^{-3}$ отрицательные степени имеют переменные $a$ и $c$. Преобразуем каждую из них:

$a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$

$c^{-3} = \frac{1}{c^3}$

Теперь объединим все части выражения. Множители с положительными степенями остаются в числителе, а те, что были с отрицательными, перемещаются в знаменатель с положительными степенями:

$a^{-1}b^2c^{-3} = \frac{1}{a} \cdot b^2 \cdot \frac{1}{c^3} = \frac{b^2}{ac^3}$

Ответ: $\frac{b^2}{ac^3}$

6) В выражении $a^2b^{-1}c^{-4}$ отрицательные степени имеют переменные $b$ и $c$. Преобразуем их:

$b^{-1} = \frac{1}{b^1} = \frac{1}{b}$

$c^{-4} = \frac{1}{c^4}$

Объединяем все части выражения:

$a^2b^{-1}c^{-4} = a^2 \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c^4} = \frac{a^2}{bc^4}$

Ответ: $\frac{a^2}{bc^4}$

Вычислить (323–324).

323. 1) $(\frac{1}{7})^{-3}(\frac{1}{7});$

2) $(-\frac{1}{5})(-\frac{1}{5})^{-4};$

3) $0.3^7 \cdot 0.3^{-10};$

4) $17^{-5} \cdot 17^3 \cdot 17.$

323.

1) $(\frac{1}{7})^{-3} (\frac{1}{7})$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a = \frac{1}{7}$. Первый множитель имеет степень $m = -3$, а второй множитель $(\frac{1}{7})$ можно представить как $(\frac{1}{7})^1$, то есть его степень $n = 1$.

Складываем показатели степеней:

$(\frac{1}{7})^{-3} \cdot (\frac{1}{7})^1 = (\frac{1}{7})^{-3+1} = (\frac{1}{7})^{-2}$

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{7})^{-2} = (\frac{7}{1})^2 = 7^2 = 49$

Ответ: 49

2) $(-\frac{1}{5})(-\frac{1}{5})^{-4}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание $a = -\frac{1}{5}$. Первый множитель $(-\frac{1}{5})$ можно представить как $(-\frac{1}{5})^1$, его степень $m = 1$. Второй множитель имеет степень $n = -4$.

Складываем показатели степеней:

$(-\frac{1}{5})^1 \cdot (-\frac{1}{5})^{-4} = (-\frac{1}{5})^{1+(-4)} = (-\frac{1}{5})^{-3}$

Применим свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(-\frac{1}{5})^{-3} = (-\frac{5}{1})^3 = (-5)^3 = -125$

Ответ: -125

3) $0,3^7 \cdot 0,3^{-10}$

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Здесь основание $a = 0,3$, степени $m = 7$ и $n = -10$.

$0,3^7 \cdot 0,3^{-10} = 0,3^{7+(-10)} = 0,3^{-3}$

Для вычисления представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$. Затем воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$0,3^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{10^3}{3^3} = \frac{1000}{27}$

Ответ: $\frac{1000}{27}$

4) $17^{-5} \cdot 17^3 \cdot 17$

Используем свойство умножения степеней для трех множителей с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$. Основание $a = 17$. Множитель $17$ можно записать как $17^1$.

Складываем показатели всех степеней:

$17^{-5} \cdot 17^3 \cdot 17^1 = 17^{-5+3+1} = 17^{-1}$

Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$17^{-1} = \frac{1}{17^1} = \frac{1}{17}$

Ответ: $\frac{1}{17}$

324. 1) $9^7 : 9^{10};$

2) $(0,2)^2 : (0,2)^{-2};$

3) $\left(\frac{2}{13}\right)^{-12} : \left(\frac{2}{13}\right)^2;$

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^3 : \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}.$

1) Для решения примера $9^7 : 9^{10}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
В данном выражении основание $a=9$, показатель делимого $m=7$, а показатель делителя $n=10$.
Применим формулу:
$9^7 : 9^{10} = 9^{7-10} = 9^{-3}$.
Теперь воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$9^{-3} = \frac{1}{9^3} = \frac{1}{9 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{1}{729}$.
Ответ: $\frac{1}{729}$.

2) Для решения примера $(0,2)^2 : (0,2)^{-2}$ применим то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Здесь основание $a=0,2$, показатель делимого $m=2$, а показатель делителя $n=-2$.
Выполним вычитание показателей:
$(0,2)^2 : (0,2)^{-2} = (0,2)^{2 - (-2)} = (0,2)^{2+2} = (0,2)^4$.
Теперь вычислим значение полученного выражения:
$(0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$.
Ответ: $0,0016$.

3) В примере $(\frac{2}{13})^{-12} : (\frac{2}{13})^{2}$ также используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основание степени $a=\frac{2}{13}$, показатели $m=-12$ и $n=2$.
Применим формулу:
$(\frac{2}{13})^{-12} : (\frac{2}{13})^{2} = (\frac{2}{13})^{-12-2} = (\frac{2}{13})^{-14}$.
Чтобы избавиться от отрицательного показателя, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{13})^{-14} = (\frac{13}{2})^{14}$.
Ответ: $(\frac{13}{2})^{14}$.

4) Для решения примера $(\frac{2}{5})^3 : (\frac{2}{5})^{-1}$ снова применяем правило деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основание $a=\frac{2}{5}$, показатели степеней $m=3$ и $n=-1$.
Выполним вычитание показателей:
$(\frac{2}{5})^3 : (\frac{2}{5})^{-1} = (\frac{2}{5})^{3 - (-1)} = (\frac{2}{5})^{3+1} = (\frac{2}{5})^4$.
Теперь возведем дробь в четвертую степень:
$(\frac{2}{5})^4 = \frac{2^4}{5^4} = \frac{16}{625}$.
Ответ: $\frac{16}{625}$.

325. Возвести степень в степень:

1) $(a^3)^{-5}$;

2) $(b^{-2})^{-4}$;

3) $(a^{-3})^7$;

4) $(b^7)^{-4}$.

Для решения данной задачи используется свойство степеней: при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Это свойство можно записать в виде формулы: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

1) $(a^3)^{-5}$

Чтобы возвести степень $a^3$ в степень $-5$, необходимо умножить показатель степени $3$ на показатель степени $-5$. Основание $a$ при этом не меняется.

$(a^3)^{-5} = a^{3 \cdot (-5)} = a^{-15}$

Ответ: $a^{-15}$.

2) $(b^{-2})^{-4}$

Чтобы возвести степень $b^{-2}$ в степень $-4$, необходимо умножить показатель степени $-2$ на показатель степени $-4$. Основание $b$ остается прежним.

$(b^{-2})^{-4} = b^{(-2) \cdot (-4)} = b^8$

Ответ: $b^8$.

3) $(a^{-3})^7$

Чтобы возвести степень $a^{-3}$ в степень $7$, необходимо умножить показатель степени $-3$ на показатель степени $7$. Основание $a$ остается прежним.

$(a^{-3})^7 = a^{-3 \cdot 7} = a^{-21}$

Ответ: $a^{-21}$.

4) $(b^7)^{-4}$

Чтобы возвести степень $b^7$ в степень $-4$, необходимо умножить показатель степени $7$ на показатель степени $-4$. Основание $b$ остается прежним.

$(b^7)^{-4} = b^{7 \cdot (-4)} = b^{-28}$

Ответ: $b^{-28}$.

326. Возвести в степень произведение:

1) $(ab^{-2})^3$;

2) $(a^2b^{-1})^4$;

3) $(2a^2)^{-6}$;

4) $(3a^3)^{-4}.

Для решения этой задачи мы воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Возведение произведения в степень: $(xy)^n = x^n y^n$
• Возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
• Степень с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

1) $(ab^{-2})^3$

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить:
$(ab^{-2})^3 = a^3 \cdot (b^{-2})^3$
Теперь возведем степень в степень, для этого показатели степеней перемножаются:
$a^3 \cdot (b^{-2})^3 = a^3 \cdot b^{-2 \cdot 3} = a^3b^{-6}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем, запишем результат в виде дроби:
$a^3b^{-6} = \frac{a^3}{b^6}$
Ответ: $\frac{a^3}{b^6}$

2) $(a^2b^{-1})^4$

Применяем те же свойства. Сначала возводим в степень каждый множитель в скобках:
$(a^2b^{-1})^4 = (a^2)^4 \cdot (b^{-1})^4$
Затем применяем правило возведения степени в степень:
$(a^2)^4 \cdot (b^{-1})^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{-1 \cdot 4} = a^8b^{-4}$
Записываем ответ без отрицательных степеней:
$a^8b^{-4} = \frac{a^8}{b^4}$
Ответ: $\frac{a^8}{b^4}$

3) $(2a^2)^{-6}$

Возводим в степень $-6$ каждый множитель в скобках (число $2$ и переменную $a^2$):
$(2a^2)^{-6} = 2^{-6} \cdot (a^2)^{-6}$
Вычисляем каждую часть отдельно. Для $(a^2)^{-6}$ перемножаем показатели: $2 \cdot (-6) = -12$. Для $2^{-6}$ используем определение отрицательной степени:
$2^{-6} \cdot a^{-12} = \frac{1}{2^6} \cdot \frac{1}{a^{12}}$
Вычисляем $2^6 = 64$ и объединяем дроби:
$\frac{1}{64} \cdot \frac{1}{a^{12}} = \frac{1}{64a^{12}}$
Ответ: $\frac{1}{64a^{12}}$

4) $(3a^3)^{-4}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Возводим в степень $-4$ каждый множитель:
$(3a^3)^{-4} = 3^{-4} \cdot (a^3)^{-4}$
Применяем правило возведения степени в степень и определение отрицательной степени:
$3^{-4} \cdot a^{3 \cdot (-4)} = 3^{-4} \cdot a^{-12} = \frac{1}{3^4} \cdot \frac{1}{a^{12}}$
Вычисляем $3^4 = 81$ и получаем окончательный результат:
$\frac{1}{81} \cdot \frac{1}{a^{12}} = \frac{1}{81a^{12}}$
Ответ: $\frac{1}{81a^{12}}$

327. Возвести в степень частное:

1) $\left(\frac{a^8}{b^7}\right)^{-2}$;

2) $\left(\frac{m^{-4}}{n^{-5}}\right)^{-3}$;

3) $\left(\frac{2x^6}{3y^{-4}}\right)^{2}$;

4) $\left(\frac{-4x^{-5}y}{z^3}\right)^{3}$.

1)Чтобы возвести частное $(\frac{a^8}{b^7})^{-2}$ в степень, воспользуемся свойством степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Сначала возводим в степень -2 и числитель, и знаменатель дроби:
$(\frac{a^8}{b^7})^{-2} = \frac{(a^8)^{-2}}{(b^7)^{-2}}$
Затем применяем правило возведения степени в степень, перемножая показатели:
$\frac{a^{8 \cdot (-2)}}{b^{7 \cdot (-2)}} = \frac{a^{-16}}{b^{-14}}$
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перемещаем множители с отрицательными степенями из числителя в знаменатель и наоборот, меняя знак степени на положительный:
$\frac{a^{-16}}{b^{-14}} = \frac{b^{14}}{a^{16}}$
Ответ: $\frac{b^{14}}{a^{16}}$

2)Для выражения $(\frac{m^{-4}}{n^{-5}})^{-3}$ применим те же правила.
Возводим числитель и знаменатель в степень -3:
$(\frac{m^{-4}}{n^{-5}})^{-3} = \frac{(m^{-4})^{-3}}{(n^{-5})^{-3}}$
Перемножаем показатели степеней. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:
$\frac{m^{(-4) \cdot (-3)}}{n^{(-5) \cdot (-3)}} = \frac{m^{12}}{n^{15}}$
В данном случае все степени получились положительными, поэтому дальнейшее упрощение не требуется.
Ответ: $\frac{m^{12}}{n^{15}}$

3)Рассмотрим выражение $(\frac{2x^6}{3y^{-4}})^2$. Здесь в числителе и знаменателе находятся произведения.
Используем свойство возведения произведения в степень $(abc)^n = a^n b^n c^n$.
Возводим в квадрат числитель и знаменатель:
$(\frac{2x^6}{3y^{-4}})^2 = \frac{(2x^6)^2}{(3y^{-4})^2} = \frac{2^2 \cdot (x^6)^2}{3^2 \cdot (y^{-4})^2}$
Вычисляем степени коэффициентов и перемножаем показатели степеней у переменных:
$\frac{4 \cdot x^{6 \cdot 2}}{9 \cdot y^{-4 \cdot 2}} = \frac{4x^{12}}{9y^{-8}}$
Чтобы избавиться от отрицательной степени в знаменателе, переносим $y^{-8}$ в числитель, изменив знак степени на положительный:
$\frac{4x^{12}y^8}{9}$
Ответ: $\frac{4x^{12}y^8}{9}$

4)Решим для выражения $(\frac{-4x^{-5}y}{z^3})^3$.
Возводим в куб каждый множитель в числителе и знаменатель в целом:
$(\frac{-4x^{-5}y}{z^3})^3 = \frac{(-4x^{-5}y)^3}{(z^3)^3} = \frac{(-4)^3 \cdot (x^{-5})^3 \cdot y^3}{(z^3)^3}$
Выполняем вычисления. Обратите внимание, что $(-4)^3 = -64$, так как отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным.
$\frac{-64 \cdot x^{-5 \cdot 3} \cdot y^3}{z^{3 \cdot 3}} = \frac{-64x^{-15}y^3}{z^9}$
Переменную $x$ с отрицательной степенью переносим из числителя в знаменатель, меняя знак степени на положительный:
$\frac{-64y^3}{x^{15}z^9}$
Знак минус можно вынести перед всей дробью.
Ответ: $-\frac{64y^3}{x^{15}z^9}$

328. Возвести в степень по формулам квадрата суммы или разности; куба суммы или разности:

1) $(a^{-1} + b^{-2})^2$;

2) $(a^{-3} - b^{-1})^2$;

3) $(2x^{-2} - 3y)^3$;

4) $(x^{-4} + x^3)^3$.

1) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{-1} + b^{-2})^2$ применяется формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае, $x = a^{-1}$ и $y = b^{-2}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a^{-1} + b^{-2})^2 = (a^{-1})^2 + 2(a^{-1})(b^{-2}) + (b^{-2})^2$.
Далее, упростим каждый член выражения, используя свойство степеней $(p^m)^n = p^{m \cdot n}$:
$(a^{-1})^2 = a^{-1 \cdot 2} = a^{-2}$
$2(a^{-1})(b^{-2}) = 2a^{-1}b^{-2}$
$(b^{-2})^2 = b^{-2 \cdot 2} = b^{-4}$
Собрав все вместе, получаем итоговое выражение:
$a^{-2} + 2a^{-1}b^{-2} + b^{-4}$.
Ответ: $a^{-2} + 2a^{-1}b^{-2} + b^{-4}$.

2) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{-3} - b^{-1})^2$ используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = a^{-3}$ и $y = b^{-1}$.
Подставим значения в формулу:
$(a^{-3} - b^{-1})^2 = (a^{-3})^2 - 2(a^{-3})(b^{-1}) + (b^{-1})^2$.
Упростим каждый член выражения:
$(a^{-3})^2 = a^{-3 \cdot 2} = a^{-6}$
$-2(a^{-3})(b^{-1}) = -2a^{-3}b^{-1}$
$(b^{-1})^2 = b^{-1 \cdot 2} = b^{-2}$
Итоговый результат:
$a^{-6} - 2a^{-3}b^{-1} + b^{-2}$.
Ответ: $a^{-6} - 2a^{-3}b^{-1} + b^{-2}$.

3) Для возведения в степень выражения $(2x^{-2} - 3y)^3$ применим формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В этом выражении $a = 2x^{-2}$ и $b = 3y$.
Подставляем в формулу:
$(2x^{-2} - 3y)^3 = (2x^{-2})^3 - 3(2x^{-2})^2(3y) + 3(2x^{-2})(3y)^2 - (3y)^3$.
Вычислим каждый член по отдельности:
$(2x^{-2})^3 = 2^3 \cdot (x^{-2})^3 = 8x^{-6}$
$-3(2x^{-2})^2(3y) = -3(4x^{-4})(3y) = -36x^{-4}y$
$3(2x^{-2})(3y)^2 = 3(2x^{-2})(9y^2) = 54x^{-2}y^2$
$-(3y)^3 = -27y^3$
Объединяем все члены:
$8x^{-6} - 36x^{-4}y + 54x^{-2}y^2 - 27y^3$.
Ответ: $8x^{-6} - 36x^{-4}y + 54x^{-2}y^2 - 27y^3$.

4) Для возведения в степень выражения $(x^{-4} + x^3)^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a = x^{-4}$ и $b = x^3$.
Подставляем в формулу:
$(x^{-4} + x^3)^3 = (x^{-4})^3 + 3(x^{-4})^2(x^3) + 3(x^{-4})(x^3)^2 + (x^3)^3$.
Упростим каждый член, используя свойства степеней $(p^m)^n = p^{mn}$ и $p^m \cdot p^n = p^{m+n}$:
$(x^{-4})^3 = x^{-12}$
$3(x^{-4})^2(x^3) = 3(x^{-8})(x^3) = 3x^{-8+3} = 3x^{-5}$
$3(x^{-4})(x^3)^2 = 3(x^{-4})(x^6) = 3x^{-4+6} = 3x^2$
$(x^3)^3 = x^9$
Складываем все члены: $x^{-12} + 3x^{-5} + 3x^2 + x^9$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней:
$x^9 + 3x^2 + 3x^{-5} + x^{-12}$.
Ответ: $x^9 + 3x^2 + 3x^{-5} + x^{-12}$.

329. Вычислить значение выражения:

1) $(x^2y^{-2} - 4y^{-2}) \cdot (\frac{1}{y})^{-2}$ при $x=5$, $y=6,7$;

2) $((a^2b^{-1})^4 - a^0b^4) : \frac{a^4 - b^4}{b^2}$ при $a=2$, $b=-3$.

1) Сначала упростим данное выражение $(x^2y^{-2} - 4y^{-2}) \cdot (\frac{1}{y})^{-2}$.

Вынесем общий множитель $y^{-2}$ за скобки в первой части выражения:

$x^2y^{-2} - 4y^{-2} = y^{-2}(x^2 - 4)$.

Упростим вторую часть выражения, используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{y})^{-2} = (\frac{y}{1})^2 = y^2$.

Теперь перемножим упрощенные части:

$y^{-2}(x^2 - 4) \cdot y^2$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$y^{-2+2}(x^2 - 4) = y^0(x^2 - 4)$.

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, и $y=6,7 \neq 0$, то $y^0=1$. Выражение упрощается до:

$1 \cdot (x^2 - 4) = x^2 - 4$.

Теперь подставим заданное значение $x=5$ в упрощенное выражение. Обратите внимание, что значение $y$ не влияет на конечный результат.

$x^2 - 4 = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$.

Ответ: 21

2) Сначала упростим выражение $((a^2b^{-1})^4 - a^0b^4) : \frac{a^4 - b^4}{b^2}$.

Рассмотрим выражение в скобках $((a^2b^{-1})^4 - a^0b^4)$.

Используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(xy)^n = x^n y^n$, упростим первый член:

$(a^2b^{-1})^4 = (a^2)^4 \cdot (b^{-1})^4 = a^{2 \cdot 4}b^{-1 \cdot 4} = a^8b^{-4}$.

Упростим второй член, зная, что $x^0=1$ для любого $x \neq 0$:

$a^0b^4 = 1 \cdot b^4 = b^4$.

Таким образом, выражение в скобках принимает вид:

$a^8b^{-4} - b^4 = \frac{a^8}{b^4} - b^4$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a^8}{b^4} - \frac{b^4 \cdot b^4}{b^4} = \frac{a^8 - b^8}{b^4}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$\frac{a^8 - b^8}{b^4} : \frac{a^4 - b^4}{b^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^8 - b^8}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^4 - b^4}$.

Разложим числитель $a^8 - b^8$ по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^4$ и $y=b^4$:

$a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.

Подставим разложение в выражение:

$\frac{(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^4 - b^4}$.

Сократим общий множитель $(a^4 - b^4)$ и степень $b$:

$\frac{a^4 + b^4}{b^{4-2}} = \frac{a^4 + b^4}{b^2}$.

Теперь подставим значения $a=2$ и $b=-3$ в упрощенное выражение:

$\frac{2^4 + (-3)^4}{(-3)^2} = \frac{16 + 81}{9} = \frac{97}{9}$.

Ответ: $\frac{97}{9}$