Номер 321, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 321, страница 119.

Условие.

321. (Устно.) Сравнить с единицей:

1) $12^{-3}$;

2) $21^0$;

3) $(0,6)^{-5}$;

4) $\left(\frac{5}{19}\right)^{-4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы сравнить выражение $12^{-3}$ с единицей, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применив это свойство, получаем: $12^{-3} = \frac{1}{12^3}$.
Основание степени 12 больше 1, поэтому и $12^3$ будет числом, большим 1. В частности, $12^3 = 1728$.
Выражение принимает вид $\frac{1}{1728}$. Это правильная дробь, так как ее числитель меньше знаменателя, поэтому ее значение меньше 1.
Таким образом, $12^{-3} < 1$.
Ответ: $12^{-3} < 1$.

2) Для сравнения выражения $21^0$ с единицей, используем свойство степени с нулевым показателем: любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$).
Поскольку основание степени $21 \neq 0$, то $21^0 = 1$.
Ответ: $21^0 = 1$.

3) Чтобы сравнить $(0,6)^{-5}$ с единицей, можно использовать общее правило: если основание степени $a$ находится в интервале $0 < a < 1$, то при возведении в отрицательную степень результат будет больше 1.
Для подробного решения представим $0,6$ в виде обыкновенной дроби и применим свойства степеней.
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Следовательно, $(0,6)^{-5} = (\frac{3}{5})^{-5}$.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{5})^{-5} = (\frac{5}{3})^5$.
Новое основание степени $\frac{5}{3}$ больше 1. При возведении числа, большего 1, в положительную степень, результат также будет больше 1.
Следовательно, $(0,6)^{-5} > 1$.
Ответ: $(0,6)^{-5} > 1$.

4) Для сравнения выражения $(\frac{5}{19})^{-4}$ с единицей, применим свойство степени с отрицательным показателем для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{5}{19})^{-4} = (\frac{19}{5})^4$.
Основание исходной степени $\frac{5}{19}$ меньше 1. После преобразования мы получили новое основание $\frac{19}{5}$. Так как числитель 19 больше знаменателя 5, дробь $\frac{19}{5}$ больше 1.
При возведении числа, большего 1, в положительную степень (в данном случае в 4-ю), результат всегда будет больше 1.
Следовательно, $(\frac{5}{19})^{-4} > 1$.
Ответ: $(\frac{5}{19})^{-4} > 1$.