Номер 328, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 328, страница 119.

Условие.

328. Возвести в степень по формулам квадрата суммы или разности; куба суммы или разности:

1) $(a^{-1} + b^{-2})^2$;

2) $(a^{-3} - b^{-1})^2$;

3) $(2x^{-2} - 3y)^3$;

4) $(x^{-4} + x^3)^3$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{-1} + b^{-2})^2$ применяется формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае, $x = a^{-1}$ и $y = b^{-2}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a^{-1} + b^{-2})^2 = (a^{-1})^2 + 2(a^{-1})(b^{-2}) + (b^{-2})^2$.
Далее, упростим каждый член выражения, используя свойство степеней $(p^m)^n = p^{m \cdot n}$:
$(a^{-1})^2 = a^{-1 \cdot 2} = a^{-2}$
$2(a^{-1})(b^{-2}) = 2a^{-1}b^{-2}$
$(b^{-2})^2 = b^{-2 \cdot 2} = b^{-4}$
Собрав все вместе, получаем итоговое выражение:
$a^{-2} + 2a^{-1}b^{-2} + b^{-4}$.
Ответ: $a^{-2} + 2a^{-1}b^{-2} + b^{-4}$.

2) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{-3} - b^{-1})^2$ используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = a^{-3}$ и $y = b^{-1}$.
Подставим значения в формулу:
$(a^{-3} - b^{-1})^2 = (a^{-3})^2 - 2(a^{-3})(b^{-1}) + (b^{-1})^2$.
Упростим каждый член выражения:
$(a^{-3})^2 = a^{-3 \cdot 2} = a^{-6}$
$-2(a^{-3})(b^{-1}) = -2a^{-3}b^{-1}$
$(b^{-1})^2 = b^{-1 \cdot 2} = b^{-2}$
Итоговый результат:
$a^{-6} - 2a^{-3}b^{-1} + b^{-2}$.
Ответ: $a^{-6} - 2a^{-3}b^{-1} + b^{-2}$.

3) Для возведения в степень выражения $(2x^{-2} - 3y)^3$ применим формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В этом выражении $a = 2x^{-2}$ и $b = 3y$.
Подставляем в формулу:
$(2x^{-2} - 3y)^3 = (2x^{-2})^3 - 3(2x^{-2})^2(3y) + 3(2x^{-2})(3y)^2 - (3y)^3$.
Вычислим каждый член по отдельности:
$(2x^{-2})^3 = 2^3 \cdot (x^{-2})^3 = 8x^{-6}$
$-3(2x^{-2})^2(3y) = -3(4x^{-4})(3y) = -36x^{-4}y$
$3(2x^{-2})(3y)^2 = 3(2x^{-2})(9y^2) = 54x^{-2}y^2$
$-(3y)^3 = -27y^3$
Объединяем все члены:
$8x^{-6} - 36x^{-4}y + 54x^{-2}y^2 - 27y^3$.
Ответ: $8x^{-6} - 36x^{-4}y + 54x^{-2}y^2 - 27y^3$.

4) Для возведения в степень выражения $(x^{-4} + x^3)^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a = x^{-4}$ и $b = x^3$.
Подставляем в формулу:
$(x^{-4} + x^3)^3 = (x^{-4})^3 + 3(x^{-4})^2(x^3) + 3(x^{-4})(x^3)^2 + (x^3)^3$.
Упростим каждый член, используя свойства степеней $(p^m)^n = p^{mn}$ и $p^m \cdot p^n = p^{m+n}$:
$(x^{-4})^3 = x^{-12}$
$3(x^{-4})^2(x^3) = 3(x^{-8})(x^3) = 3x^{-8+3} = 3x^{-5}$
$3(x^{-4})(x^3)^2 = 3(x^{-4})(x^6) = 3x^{-4+6} = 3x^2$
$(x^3)^3 = x^9$
Складываем все члены: $x^{-12} + 3x^{-5} + 3x^2 + x^9$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней:
$x^9 + 3x^2 + 3x^{-5} + x^{-12}$.
Ответ: $x^9 + 3x^2 + 3x^{-5} + x^{-12}$.