Номер 315, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 315, страница 118.

Условие.

Представить выражение в виде степени с натуральным показателем (315–316):

315. 1) $\frac{7^2 \cdot 7^{15}}{7^{13}}$; 2) $\frac{5^3 \cdot 5^{10} \cdot 5^7}{5^4 \cdot 5^{15}}$; 3) $\frac{3^{22} \cdot 3^{11}}{3 \cdot 3^{20} \cdot 3^3}$; 4) $\frac{13^{28} \cdot 13^{16} \cdot 13^2}{13^{30} \cdot 13^5 \cdot 13}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дано выражение $ \frac{7^2 \cdot 7^{15}}{7^{13}} $.
Для решения используем свойства степеней:
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:
$7^2 \cdot 7^{15} = 7^{2+15} = 7^{17}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{7^{17}}{7^{13}} $.
Выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:
$\frac{7^{17}}{7^{13}} = 7^{17-13} = 7^4$.
Показатель 4 является натуральным числом.
Ответ: $7^4$.

2)

Дано выражение $ \frac{5^3 \cdot 5^{10}}{5^4 \cdot 5^{15}} \cdot 5^7 $.
Согласно правилам математических операций, это выражение можно представить в виде одной дроби, переместив множитель $5^7$ в числитель:
$ \frac{5^3 \cdot 5^{10} \cdot 5^7}{5^4 \cdot 5^{15}} $.
Теперь упростим числитель, сложив показатели степеней:
$5^3 \cdot 5^{10} \cdot 5^7 = 5^{3+10+7} = 5^{20}$.
Далее упростим знаменатель, также сложив показатели степеней:
$5^4 \cdot 5^{15} = 5^{4+15} = 5^{19}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{5^{20}}{5^{19}} $.
Выполним деление, вычитая показатели:
$\frac{5^{20}}{5^{19}} = 5^{20-19} = 5^1$.
Показатель 1 является натуральным числом.
Ответ: $5^1$.

3)

Дано выражение $ \frac{3^{22} \cdot 3^{11}}{3 \cdot 3^{20} \cdot 3^3} $.
Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:
$3^{22} \cdot 3^{11} = 3^{22+11} = 3^{33}$.
Теперь упростим знаменатель. Следует помнить, что $3$ можно представить как $3^1$:
$3^1 \cdot 3^{20} \cdot 3^3 = 3^{1+20+3} = 3^{24}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{3^{33}}{3^{24}} $.
Выполним деление:
$\frac{3^{33}}{3^{24}} = 3^{33-24} = 3^9$.
Показатель 9 является натуральным числом.
Ответ: $3^9$.

4)

Дано выражение $ \frac{13^{28} \cdot 13^{16} \cdot 13^2}{13^{30} \cdot 13^5 \cdot 13} $.
Упростим числитель, сложив показатели степеней:
$13^{28} \cdot 13^{16} \cdot 13^2 = 13^{28+16+2} = 13^{46}$.
Упростим знаменатель, помня, что $13$ это $13^1$:
$13^{30} \cdot 13^5 \cdot 13^1 = 13^{30+5+1} = 13^{36}$.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{13^{46}}{13^{36}} $.
Выполним деление:
$\frac{13^{46}}{13^{36}} = 13^{46-36} = 13^{10}$.
Показатель 10 является натуральным числом.
Ответ: $13^{10}$.