Номер 1, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 1, страница 118.

Условие.

1. Сформулировать определение степени $a^{-n}$, где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число.

Решение 4.

1.

Определение степени с отрицательным целым показателем вводится как расширение понятия степени с натуральным показателем. Цель такого расширения — сохранить основные свойства степеней, в частности, правило деления степеней с одинаковым основанием.

Рассмотрим свойство деления степеней: $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $, где $a \neq 0$, а $m$ и $k$ — натуральные числа.

Пусть мы хотим, чтобы эта формула оставалась верной и для случаев, когда $m < k$. Возьмем, к примеру, $m=1$ и $k=n$, где $n$ — любое натуральное число. По определению, $a^1 = a$. Тогда, применяя правило деления степеней, мы получим: $ \frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n} $

Поскольку для любого $a \neq 0$ принято, что $a^0 = 1$, левая часть равенства превращается в: $ \frac{1}{a^n} $

Чтобы свойство степеней сохранялось, мы должны приравнять полученные выражения: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

Это и есть определение степени с отрицательным целым показателем.
Условие $a \neq 0$ является обязательным, так как в противном случае знаменатель $a^n$ был бы равен нулю, а деление на ноль в математике не определено.
Условие, что $n$ — натуральное число (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), означает, что показатель степени ($-n$) является целым отрицательным числом.

Ответ: Степенью числа $a$ с отрицательным целым показателем $-n$, где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число, называется число, обратное степени того же числа $a$ с показателем $n$. Формула определения выглядит так: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.