Номер 11, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 2. Неравенства - номер 11, страница 113.

Условие.

11. Пусть $a<b$ и числа $a$ и $b$ - отрицательные. Доказать, что $a^4 > b^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По условию задачи нам даны два отрицательных числа $a$ и $b$, для которых выполняется неравенство $a < b$. Это можно записать в виде системы условий:

• $a < b$
• $a < 0$
• $b < 0$

Из этих условий следует, что $a < b < 0$. Нам необходимо доказать, что $a^4 > b^4$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим разность его левой и правой частей: $a^4 - b^4$. Если мы докажем, что эта разность положительна, то утверждение $a^4 > b^4$ будет верным.

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для того, чтобы разложить выражение $a^4 - b^4$ на множители.

$$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$$

Применим формулу разности квадратов еще раз к выражению $(a^2 - b^2)$:

$$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$$

Теперь определим знак каждого из трех полученных множителей, исходя из заданных условий $a < b < 0$:

1. Знак множителя $(a - b)$. Поскольку по условию $a < b$, то если из меньшего числа вычесть большее, результат будет отрицательным. Следовательно, $a - b < 0$.
2. Знак множителя $(a + b)$. По условию, оба числа $a$ и $b$ являются отрицательными. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $a + b < 0$.
3. Знак множителя $(a^2 + b^2)$. Квадрат любого ненулевого числа — это положительное число. Так как $a < 0$ и $b < 0$, то $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Следовательно, $a^2 + b^2 > 0$.

Теперь мы можем определить знак всей разности $a^4 - b^4$, перемножив знаки множителей:

$$a^4 - b^4 = \underbrace{(a - b)}_{< 0} \cdot \underbrace{(a + b)}_{< 0} \cdot \underbrace{(a^2 + b^2)}_{> 0}$$

Произведение двух отрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. При умножении этого положительного результата на другое положительное число $(a^2 + b^2)$ итоговый результат также будет положительным.

Таким образом, мы получаем:

$$a^4 - b^4 > 0$$

Из этого неравенства следует, что $a^4 > b^4$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разложив разность $a^4 - b^4$ на множители $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$ и проанализировав их знаки на основе условий $a < b < 0$, мы установили, что $(a - b) < 0$, $(a + b) < 0$ и $(a^2 + b^2) > 0$. Произведение этих множителей положительно, следовательно, $a^4 - b^4 > 0$, что эквивалентно $a^4 > b^4$.