Номер 6, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 2. Неравенства - номер 6, страница 113.

Условие.

6. Пусть $a>5$, $b>1$, $c>3$. Доказать, что $2a+3bc>15$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства заданного неравенства воспользуемся свойствами числовых неравенств, применяя их последовательно к данным в условии: $a > 5$, $b > 1$ и $c > 3$. Мы оценим нижнюю границу для каждого слагаемого в выражении $2a + 3bc$.

1. Оценим слагаемое $2a$. Нам дано, что $a > 5$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится: $a > 5 \implies 2 \cdot a > 2 \cdot 5 \implies 2a > 10$.

2. Оценим слагаемое $3bc$. Из условий $b > 1$ и $c > 3$ следует, что переменные $b$ и $c$ положительны. Мы можем перемножить эти два неравенства, так как их левые и правые части положительны: $b \cdot c > 1 \cdot 3 \implies bc > 3$. Теперь умножим обе части полученного неравенства $bc > 3$ на положительное число 3: $3 \cdot (bc) > 3 \cdot 3 \implies 3bc > 9$.

3. Теперь мы имеем два строгих неравенства: $2a > 10$ и $3bc > 9$. Мы можем их сложить, складывая левые части с левыми, а правые — с правыми: $2a + 3bc > 10 + 9$. $2a + 3bc > 19$.

Мы получили, что выражение $2a + 3bc$ строго больше 19. Поскольку $19 > 15$, то из неравенства $2a + 3bc > 19$ автоматически следует, что $2a + 3bc > 15$.

Ответ: Что и требовалось доказать. Из исходных условий следует, что $2a > 10$ и $3bc > 9$, при сложении этих неравенств получаем $2a + 3bc > 19$, а так как $19 > 15$, то доказываемое неравенство $2a + 3bc > 15$ верно.