Номер 1, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 2. Неравенства - номер 1, страница 112.

Условие.

1. Доказать, что при всех значениях x верно неравенство

$\frac{1}{2}x(2x-4) \ge (x-2)x$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1.

Чтобы доказать, что данное неравенство верно при всех значениях x, мы выполним равносильные преобразования, пока не придем к очевидно верному утверждению.

Запишем исходное неравенство:

$\frac{1}{2}x(2x-4) \ge (x-2)x$

Преобразуем левую часть неравенства. Сначала вынесем общий множитель 2 из скобок $(2x-4)$:

$\frac{1}{2}x \cdot 2(x-2) \ge (x-2)x$

Сократим $\frac{1}{2}$ и 2 в левой части:

$x(x-2) \ge (x-2)x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$x^2 - 2x \ge x^2 - 2x$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x^2 - 2x) - (x^2 - 2x) \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \ge 0$

Мы получили верное числовое неравенство $0 \ge 0$. Так как все выполненные преобразования были равносильными, то исходное неравенство также верно для любого действительного значения x.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 \ge 0$.