Номер 5, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 2. Неравенства - номер 5, страница 111.

Условие.

5. Оценить кинетическую энергию E(Дж) тела массой m(кг), движущегося со скоростью v (м/с), если:

1) $2 \le m \le 3$, $1 \le v \le 2$;

2) $3 < m < 4$, $6 < v < 8$. Известно, что $E = \frac{mv^2}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для оценки кинетической энергии $E$ воспользуемся формулой $E = \frac{mv^2}{2}$ и данными нестрогими неравенствами: $2 \le m \le 3$ и $1 \le v \le 2$.

Поскольку скорость $v$ является положительной величиной, мы можем возвести в квадрат все части неравенства для скорости, сохранив знаки неравенства: $1^2 \le v^2 \le 2^2$, что преобразуется в $1 \le v^2 \le 4$.

Теперь у нас есть два неравенства для положительных величин $m$ и $v^2$: $2 \le m \le 3$ и $1 \le v^2 \le 4$. Чтобы найти диапазон для их произведения $mv^2$, необходимо перемножить соответствующие границы. Минимальное значение произведения будет равно произведению минимальных значений, а максимальное — произведению максимальных:
$2 \cdot 1 \le m \cdot v^2 \le 3 \cdot 4$
$2 \le mv^2 \le 12$

Наконец, чтобы найти оценку для энергии $E$, разделим все части полученного двойного неравенства на 2:
$\frac{2}{2} \le \frac{mv^2}{2} \le \frac{12}{2}$
$1 \le E \le 6$

Следовательно, кинетическая энергия тела находится в диапазоне от 1 Дж до 6 Дж включительно.
Ответ: $1 \le E \le 6$.

2) Для второго случая используем тот же подход, но со строгими неравенствами: $3 < m < 4$ и $6 < v < 8$.

Сначала возводим в квадрат неравенство для скорости $v$:
$6^2 < v^2 < 8^2$, что дает $36 < v^2 < 64$.

Далее, перемножаем неравенства для массы $m$ и квадрата скорости $v^2$:
$3 \cdot 36 < m \cdot v^2 < 4 \cdot 64$
$108 < mv^2 < 256$

В завершение, делим все части неравенства на 2, чтобы найти диапазон для кинетической энергии $E$:
$\frac{108}{2} < \frac{mv^2}{2} < \frac{256}{2}$
$54 < E < 128$

Таким образом, кинетическая энергия тела строго больше 54 Дж и строго меньше 128 Дж.
Ответ: $54 < E < 128$.