Номер 311, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 311, страница 110.

Условие.

311. В раствор объёмом 5 л, содержащий 30% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько нужно влить второго раствора в первый, чтобы их смесь содержала не менее 60% кислоты?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это объем второго раствора в литрах, который нужно добавить.

В первом растворе объемом 5 л содержится 30% кислоты. Найдем массу (или объем, так как плотность не указана, будем считать объемы) чистой кислоты в первом растворе: $V_{кислоты1} = 5 \cdot 0,30 = 1,5$ л.

Во втором растворе объемом $x$ л содержится 70% кислоты. Количество чистой кислоты во втором растворе равно: $V_{кислоты2} = x \cdot 0,70 = 0,7x$ л.

После смешивания двух растворов общий объем смеси составит $5 + x$ л. Общее количество кислоты в этой смеси будет суммой количеств кислоты из первого и второго растворов: $V_{кислоты\_общ} = 1,5 + 0,7x$ л.

Концентрация кислоты в итоговой смеси вычисляется как отношение общего количества кислоты к общему объему смеси. По условию, эта концентрация должна быть не менее 60% (то есть $\ge 0,6$). Составим неравенство: $\frac{1,5 + 0,7x}{5 + x} \ge 0,6$

Для решения этого неравенства умножим обе его части на знаменатель $(5 + x)$. Так как объем $x$ не может быть отрицательным, выражение $5 + x$ всегда положительно, поэтому знак неравенства не изменится: $1,5 + 0,7x \ge 0,6(5 + x)$ $1,5 + 0,7x \ge 3 + 0,6x$

Теперь сгруппируем члены с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой: $0,7x - 0,6x \ge 3 - 1,5$ $0,1x \ge 1,5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 0,1: $x \ge \frac{1,5}{0,1}$ $x \ge 15$

Следовательно, чтобы концентрация кислоты в смеси была не менее 60%, необходимо влить не менее 15 литров второго раствора.

Ответ: не менее 15 л.