Номер 309, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 309, страница 110.

Условие.

309. Доказать, что:

1) $2b - a < 3a - 2b$ тогда и только тогда, когда $a > b$;

2) $a + 2b > 4a - b$ тогда и только тогда, когда $a < b$;

3) $a - 2b > 3a + 2b$ тогда и только тогда, когда $a + 2b < 0$;

4) $b - 2a < 4a + 3b$ тогда и только тогда, когда $3a + b > 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Докажем, что неравенство $2b - a < 3a - 2b$ равносильно неравенству $a > b$. Для этого будем использовать равносильные преобразования.

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $a$, в правую часть неравенства, а слагаемые с переменной $b$ — в левую. Для этого прибавим к обеим частям $a$ и $2b$.

$2b + 2b < 3a + a$

Приведем подобные члены в обеих частях:

$4b < 4a$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменится.

$b < a$

Полученное неравенство $b < a$ эквивалентно неравенству $a > b$. Поскольку все преобразования были равносильными, мы доказали, что исходное утверждение верно.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что неравенство $a + 2b > 4a - b$ равносильно неравенству $a < b$.

Выполним равносильные преобразования. Перенесем члены с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ — в правую.

$2b + b > 4a - a$

Приведем подобные слагаемые:

$3b > 3a$

Разделим обе части неравенства на положительное число 3, при этом знак неравенства сохранится.

$b > a$

Это неравенство эквивалентно неравенству $a < b$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что неравенство $a - 2b > 3a + 2b$ равносильно неравенству $a + 2b < 0$.

Для доказательства преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены в левую часть.

$a - 2b - 3a - 2b > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-2a - 4b > 0$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$a + 2b < 0$

Мы получили требуемое неравенство, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что неравенство $b - 2a < 4a + 3b$ равносильно неравенству $3a + b > 0$.

Преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены из левой части в правую.

$0 < 4a + 3b - (b - 2a)$

$0 < 4a + 3b - b + 2a$

Приведем подобные члены в правой части:

$0 < 6a + 2b$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$0 < 2(3a + b)$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$0 < 3a + b$

Это неравенство эквивалентно неравенству $3a + b > 0$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.