Номер 303, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 303, страница 109.

Условие.

303. Указать значения $x$ (если они существуют), при которых значения функций $y=-x+1$ и $y=x+2$ одновременно:

1) положительны;

2) отрицательны;

3) больше 1;

4) больше 2.

Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи сначала построим графики функций $y = -x + 1$ и $y = x + 2$ в одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, их графики – прямые линии.

Для функции $y_1 = -x + 1$ (на графике обозначена синим цветом):

• Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y=1$. Координаты: $(0, 1)$.
• Точка пересечения с осью OX (при $y=0$): $0 = -x + 1 \implies x=1$. Координаты: $(1, 0)$.

Для функции $y_2 = x + 2$ (на графике обозначена красным цветом):

• Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y=2$. Координаты: $(0, 2)$.
• Точка пересечения с осью OX (при $y=0$): $0 = x + 2 \implies x=-2$. Координаты: $(-2, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив систему уравнений:$ \begin{cases} y = -x + 1 \\ y = x + 2 \end{cases} $
$-x + 1 = x + 2 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
Подставим $x$ в любое из уравнений: $y = -(-0.5) + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$.
Точка пересечения графиков: $(-0.5, 1.5)$.

1) положительны;

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций больше нуля. Это соответствует решению системы неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x > -1 \\ x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x > -2 \end{cases} $Объединяя решения, получаем интервал: $-2 < x < 1$.На графике это интервал по оси $x$, на котором оба графика (синий и красный) находятся выше оси абсцисс ($y=0$). График $y=x+2$ выше оси при $x > -2$, а график $y=-x+1$ выше оси при $x < 1$. Общим решением является их пересечение.
Ответ: $x \in (-2, 1)$.

2) отрицательны;

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций меньше нуля. Решаем систему неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 < 0 \\ x + 2 < 0 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x < -1 \\ x < -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < -2 \end{cases} $Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше 1 и меньше -2. Следовательно, система не имеет решений.На графике видно, что не существует интервала по оси $x$, на котором оба графика одновременно находились бы ниже оси абсцисс.
Ответ: таких значений $x$ не существует.

3) больше 1;

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций больше 1. Решаем систему неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 > 1 \\ x + 2 > 1 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x > 0 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -1 \end{cases} $Объединяя решения, получаем интервал: $-1 < x < 0$.На графике это соответствует интервалу по оси $x$, на котором оба графика находятся выше горизонтальной прямой $y=1$ (зеленая пунктирная линия).
Ответ: $x \in (-1, 0)$.

4) больше 2.

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций больше 2. Решаем систему неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 > 2 \\ x + 2 > 2 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x > 1 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -1 \\ x > 0 \end{cases} $Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше -1 и больше 0. Система не имеет решений.На графике видно, что не существует интервала по оси $x$, на котором оба графика одновременно находились бы выше горизонтальной прямой $y=2$ (оранжевая пунктирная линия).
Ответ: таких значений $x$ не существует.