Номер 296, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 296, страница 107.

Условие.

296. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 0,5(x + 3) - 0,8 < 0,4(x + 2) - 0,3, \\ 0,7(2 - x) + 1,3 < 0,6(1 - x) + 2,2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 1,5(x - 2) - 2,1 < 1,3(x - 1) + 2,5, \\ 1,3(x + 3) + 1,7 > 1,6(x + 2) + 1,8. \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3,4(x + 1) + 0,4 \ge 1,9(x - 2) + 1,6, \\ 2,8(x + 3) - x \ge 2,2(x + 4) - 1,2. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 0,5(x + 3) - 0,8 < 0,4(x + 2) - 0,3 \\ 0,7(2 - x) + 1,3 < 0,6(1 - x) + 2,2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$0,5(x + 3) - 0,8 < 0,4(x + 2) - 0,3$
Для удобства вычислений умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$5(x + 3) - 8 < 4(x + 2) - 3$
Раскроем скобки:
$5x + 15 - 8 < 4x + 8 - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$5x + 7 < 4x + 5$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$5x - 4x < 5 - 7$
$x < -2$

Решим второе неравенство:
$0,7(2 - x) + 1,3 < 0,6(1 - x) + 2,2$
Умножим обе части на 10:
$7(2 - x) + 13 < 6(1 - x) + 22$
Раскроем скобки:
$14 - 7x + 13 < 6 - 6x + 22$
Приведем подобные слагаемые:
$27 - 7x < 28 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$27 - 28 < -6x + 7x$
$-1 < x$, что эквивалентно $x > -1$

Объединим решения обоих неравенств в систему:
$ \begin{cases} x < -2 \\ x > -1 \end{cases} $
Решение системы — это пересечение множеств решений каждого неравенства. На числовой прямой интервал $(-\infty; -2)$ и интервал $(-1; +\infty)$ не имеют общих точек.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

2) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 1,5(x - 2) - 2,1 < 1,3(x - 1) + 2,5 \\ 1,3(x + 3) + 1,7 > 1,6(x + 2) + 1,8 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$1,5(x - 2) - 2,1 < 1,3(x - 1) + 2,5$
Умножим обе части на 10:
$15(x - 2) - 21 < 13(x - 1) + 25$
Раскроем скобки:
$15x - 30 - 21 < 13x - 13 + 25$
Приведем подобные слагаемые:
$15x - 51 < 13x + 12$
Перенесем слагаемые:
$15x - 13x < 12 + 51$
$2x < 63$
$x < 31,5$

Решим второе неравенство:
$1,3(x + 3) + 1,7 > 1,6(x + 2) + 1,8$
Умножим обе части на 10:
$13(x + 3) + 17 > 16(x + 2) + 18$
Раскроем скобки:
$13x + 39 + 17 > 16x + 32 + 18$
Приведем подобные слагаемые:
$13x + 56 > 16x + 50$
Перенесем слагаемые:
$56 - 50 > 16x - 13x$
$6 > 3x$
$2 > x$, что эквивалентно $x < 2$

Объединим решения обоих неравенств в систему:
$ \begin{cases} x < 31,5 \\ x < 2 \end{cases} $
Пересечением этих двух множеств является множество $x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3,4(x + 1) + 0,4 \ge 1,9(x - 2) + 1,6 \\ 2,8(x + 3) - x \ge 2,2(x + 4) - 1,2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$3,4(x + 1) + 0,4 \ge 1,9(x - 2) + 1,6$
Умножим обе части на 10:
$34(x + 1) + 4 \ge 19(x - 2) + 16$
Раскроем скобки:
$34x + 34 + 4 \ge 19x - 38 + 16$
Приведем подобные слагаемые:
$34x + 38 \ge 19x - 22$
Перенесем слагаемые:
$34x - 19x \ge -22 - 38$
$15x \ge -60$
$x \ge -4$

Решим второе неравенство:
$2,8(x + 3) - x \ge 2,2(x + 4) - 1,2$
Упростим левую часть:
$2,8x + 8,4 - x \ge 2,2x + 8,8 - 1,2$
$1,8x + 8,4 \ge 2,2x + 7,6$
Перенесем слагаемые:
$8,4 - 7,6 \ge 2,2x - 1,8x$
$0,8 \ge 0,4x$
$2 \ge x$, что эквивалентно $x \le 2$

Объединим решения обоих неравенств в систему:
$ \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 2 \end{cases} $
Пересечением этих двух множеств является отрезок от -4 до 2, включая концы.
$-4 \le x \le 2$
Ответ: $x \in [-4; 2]$.