Номер 292, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 292, страница 107.

Условие.

292. Доказать, что:

1) если $x<1,2$ и $y<5$, то $x+y<6,2$;

2) если $x > \frac{1}{4}$ и $y>2$, то $xy > \frac{1}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дано два неравенства: $x < 1,2$ и $y < 5$. Требуется доказать, что $x + y < 6,2$.

Для доказательства воспользуемся свойством сложения числовых неравенств. Это свойство гласит, что если сложить почленно два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака. То есть, если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$.

В нашем случае оба неравенства имеют знак «меньше» ($<$). Сложим левые части неравенств между собой, а правые — между собой:

$x + y < 1,2 + 5$

Теперь вычислим сумму в правой части неравенства:

$1,2 + 5 = 6,2$

Подставив результат обратно в неравенство, получаем:

$x + y < 6,2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказывается с помощью свойства почленного сложения неравенств одного знака. Сложив неравенства $x < 1,2$ и $y < 5$, мы получаем $x + y < 1,2 + 5$, что эквивалентно $x + y < 6,2$.

2)

Дано два неравенства: $x > \frac{1}{4}$ и $y > 2$. Требуется доказать, что $xy > \frac{1}{2}$.

Для доказательства воспользуемся свойством умножения числовых неравенств. Это свойство гласит, что если почленно перемножить два верных неравенства одного знака, в которых все части положительны, то получится верное неравенство того же знака. То есть, если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Проверим, что все части наших неравенств положительны. Из условия $x > \frac{1}{4}$ следует, что $x > 0$. Из условия $y > 2$ следует, что $y > 0$. Правые части неравенств ($\frac{1}{4}$ и $2$) также положительны. Следовательно, мы можем применить свойство почленного умножения.

Перемножим левые и правые части исходных неравенств:

$x \cdot y > \frac{1}{4} \cdot 2$

Теперь вычислим произведение в правой части неравенства:

$\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Подставив результат обратно, получаем:

$xy > \frac{1}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказывается с помощью свойства почленного умножения неравенств одного знака с положительными частями. Поскольку $x > \frac{1}{4} > 0$ и $y > 2 > 0$, мы можем перемножить неравенства и получить $xy > \frac{1}{4} \cdot 2$, что эквивалентно $xy > \frac{1}{2}$.