Номер 290, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 290, страница 107.

Условие.

290. Доказать, что:

1) $9x^2+1 \ge 6x$ при любом $x$;

2) $x+\frac{1}{16x} \ge \frac{1}{2}$ при $x > 0$;

3) $\frac{x}{2}+5 \le -\frac{25}{2x}$ при $x < 0$;

4) $\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > \frac{1}{3-x}$ при $x > 3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Требуется доказать, что $9x^2+1 \ge 6x$ при любом $x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9x^2 - 6x + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 3x$ и $b = 1$. Тогда:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

Сворачиваем выражение в квадрат:

$(3x - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Требуется доказать, что $x + \frac{1}{16x} \ge \frac{1}{2}$ при $x > 0$.

Поскольку по условию $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $16x$, не меняя знака неравенства:

$16x \cdot x + 16x \cdot \frac{1}{16x} \ge 16x \cdot \frac{1}{2}$

$16x^2 + 1 \ge 8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$16x^2 - 8x + 1 \ge 0$

Левая часть также является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 4x$ и $b = 1$.

$(4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

$(4x - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому данное неравенство верно. Так как все преобразования были равносильными при $x > 0$, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Требуется доказать, что $\frac{x}{2} + 5 \le -\frac{25}{2x}$ при $x < 0$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x}{2} + 5 + \frac{25}{2x} \le 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $2x$:

$\frac{x \cdot x}{2x} + \frac{5 \cdot 2x}{2x} + \frac{25}{2x} \le 0$

$\frac{x^2 + 10x + 25}{2x} \le 0$

В числителе находится полный квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 5$:

$\frac{(x+5)^2}{2x} \le 0$

Проанализируем полученное выражение с учетом условия $x < 0$.
Числитель $(x+5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда больше или равен нулю, то есть $(x+5)^2 \ge 0$.
Знаменатель $2x$, согласно условию $x < 0$, всегда отрицателен, то есть $2x < 0$.
Отношение неотрицательного числа (числителя) к отрицательному числу (знаменателю) всегда будет меньше или равно нулю. Равенство достигается при $x = -5$, что удовлетворяет условию $x < 0$. Таким образом, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Требуется доказать, что $\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > \frac{1}{3-x}$ при $x > 3$.

Преобразуем правую часть неравенства: $\frac{1}{3-x} = -\frac{1}{x-3}$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > -\frac{1}{x-3}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} + \frac{1}{x-3} > 0$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{(2x-1)(2x+1) + 1}{x-3} > 0$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{(4x^2 - 1) + 1}{x-3} > 0$

$\frac{4x^2}{x-3} > 0$

Проанализируем полученное выражение с учетом условия $x > 3$.
Числитель $4x^2$: поскольку $x > 3$, то $x \ne 0$. Значит $x^2 > 0$, и $4x^2 > 0$ (строго положительное число).
Знаменатель $x-3$: поскольку $x > 3$, то $x-3 > 0$ (строго положительное число).
Отношение положительного числа к положительному числу всегда положительно. Следовательно, неравенство верно при $x > 3$.

Ответ: Неравенство доказано.