Номер 294, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 294, страница 107.

Условие.

294. Пусть $a > b > 0$. Доказать, что:

1) $a^3 > b^3$;

2) $a^3 > ab^2$;

3) $a^4 > a^2b^2$;

4) $a^2b^2 > b^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать неравенство $a^3 > b^3$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^3 - b^3$. Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Проанализируем знаки множителей в правой части равенства.

• По условию $a > b$, следовательно, разность $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, поэтому $a^2 > 0$, $b^2 > 0$ и произведение $ab > 0$. Сумма трех положительных слагаемых $a^2 + ab + b^2$ также будет положительной.

Поскольку оба множителя, $(a - b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$, положительны, их произведение тоже положительно. Следовательно, $a^3 - b^3 > 0$, что равносильно $a^3 > b^3$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.

2) Чтобы доказать неравенство $a^3 > ab^2$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^3 - ab^2$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов: $a(a^2 - b^2) = a(a - b)(a + b)$. Проанализируем знаки каждого множителя:

• По условию $a > 0$.
• По условию $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b > 0$.

Произведение трех положительных множителей $a$, $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. Следовательно, $a^3 - ab^2 > 0$, что равносильно $a^3 > ab^2$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.

3) Чтобы доказать неравенство $a^4 > a^2b^2$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^4 - a^2b^2$. Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов: $a^2(a^2 - b^2) = a^2(a - b)(a + b)$. Проанализируем знаки каждого множителя:

• По условию $a > 0$, следовательно, $a^2 > 0$.
• По условию $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b > 0$.

Произведение трех положительных множителей $a^2$, $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. Следовательно, $a^4 - a^2b^2 > 0$, что равносильно $a^4 > a^2b^2$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.

4) Чтобы доказать неравенство $a^2b^2 > b^4$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^2b^2 - b^4$. Вынесем общий множитель $b^2$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов: $b^2(a^2 - b^2) = b^2(a - b)(a + b)$. Проанализируем знаки каждого множителя:

• По условию $b > 0$, следовательно, $b^2 > 0$.
• По условию $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b > 0$.

Произведение трех положительных множителей $b^2$, $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. Следовательно, $a^2b^2 - b^4 > 0$, что равносильно $a^2b^2 > b^4$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.