Номер 291, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 291, страница 107.

Условие.

291. Доказать, что:

1) если $3b-a < a-b$, то $a > 2b$;

2) если $2b+a > 2a-b$, то $a < 3b$;

3) если $\frac{2b}{3} - \frac{a}{6} > \frac{a}{3} + \frac{b}{6}$, то $a < b$;

4) если $1,24b - 0,37a < 2,63a - 1,76b$, то $a > b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для доказательства преобразуем данное неравенство $3b - a < a - b$.
Перенесем все слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ в правую часть неравенства. Для этого прибавим к обеим частям $a$ и $b$:
$3b + b < a + a$
$4b < 2a$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства не изменится:
$2b < a$
Это неравенство эквивалентно $a > 2b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства преобразуем данное неравенство $2b + a > 2a - b$.
Перенесем все слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ в правую часть неравенства:
$2b + b > 2a - a$
$3b > a$
Это неравенство эквивалентно $a < 3b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Для доказательства преобразуем данное неравенство $\frac{2b}{3} - \frac{a}{6} > \frac{a}{3} + \frac{b}{6}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства сохраняется:
$6 \cdot (\frac{2b}{3} - \frac{a}{6}) > 6 \cdot (\frac{a}{3} + \frac{b}{6})$
$6 \cdot \frac{2b}{3} - 6 \cdot \frac{a}{6} > 6 \cdot \frac{a}{3} + 6 \cdot \frac{b}{6}$
$4b - a > 2a + b$
Теперь сгруппируем слагаемые: перенесем все слагаемые с $b$ налево, а с $a$ направо:
$4b - b > 2a + a$
$3b > 3a$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится:
$b > a$
Это неравенство эквивалентно $a < b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.

4) Для доказательства преобразуем данное неравенство $1,24b - 0,37a < 2,63a - 1,76b$.
Перенесем слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ в правую:
$1,24b + 1,76b < 2,63a + 0,37a$
Выполним сложение:
$3b < 3a$
Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства не изменится:
$b < a$
Это неравенство эквивалентно $a > b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.