Номер 288, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 288, страница 107.

Условие.

288. 1) $\frac{2x + 3}{3x - 1} = 0;$

2) $\frac{1 - 2x}{2x + 5} = 0;$

3) $\frac{(2x + 1)(x + 2)}{x - 3} = 0;$

4) $\frac{(x - 3)(2x + 4)}{x + 1} = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Сначала приравняем числитель к нулю и найдем корень:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -3 / 2 = -1.5$
Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при найденном значении $x$. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
$3x - 1 \neq 0$
$3x \neq 1$
$x \neq 1/3$
Поскольку корень $x = -1.5$ не совпадает с ограничением $x \neq 1/3$, он является решением уравнения.
Ответ: -1.5

2)

Это дробно-рациональное уравнение. Решение существует, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Найдем значение $x$, при котором числитель равен нулю:
$1 - 2x = 0$
$1 = 2x$
$x = 1/2 = 0.5$
Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x + 5 \neq 0$
$2x \neq -5$
$x \neq -5/2 = -2.5$
Найденный корень $x = 0.5$ удовлетворяет условию $x \neq -2.5$, следовательно, он является решением.
Ответ: 0.5

3)

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю. Числитель представляет собой произведение, которое равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$(2x + 1)(x + 2) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_1 = -1/2 = -0.5$
2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Теперь проверим ОДЗ, чтобы знаменатель не был равен нулю:
$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$
Оба найденных корня ($x_1 = -0.5$ и $x_2 = -2$) не равны 3, поэтому оба являются решениями уравнения.
Ответ: -2; -0.5

4)

Уравнение равно нулю, если его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$(x - 3)(2x + 4) = 0$
Рассмотрим два случая:
1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
2) $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x_2 = -2$
Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$
Оба корня, $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$, удовлетворяют этому условию. Следовательно, оба являются решениями.
Ответ: -2; 3