Номер 293, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 293, страница 107.

Условие.

293. Доказать, что если $x > -3$ и $y > 1$, то:

1) $\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -\frac{5}{7}$;

2) $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -1$;

3) $2,7x + 1,1y > -7$;

4) $1,1x + 2,7y > -0,7$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства всех неравенств будем использовать исходные условия $x > -3$ и $y > 1$, а также свойства числовых неравенств: возможность умножения на положительное число с сохранением знака неравенства и возможность почленного сложения неравенств одного знака.

1) Докажем, что $\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -\frac{5}{7}$.

Сначала преобразуем исходные неравенства. Умножим обе части неравенства $x > -3$ на положительное число $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3}x > -3 \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}x > -1$

Теперь умножим обе части неравенства $y > 1$ на положительное число $\frac{2}{7}$:
$\frac{2}{7}y > 1 \cdot \frac{2}{7}$
$\frac{2}{7}y > \frac{2}{7}$

Сложим почленно полученные неравенства $\frac{1}{3}x > -1$ и $\frac{2}{7}y > \frac{2}{7}$:
$\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -1 + \frac{2}{7}$

Вычислим значение выражения в правой части:
$-1 + \frac{2}{7} = -\frac{7}{7} + \frac{2}{7} = -\frac{5}{7}$

Таким образом, мы получили $\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -\frac{5}{7}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -1$.

Умножим неравенство $x > -3$ на $\frac{2}{7}$:
$\frac{2}{7}x > -3 \cdot \frac{2}{7}$
$\frac{2}{7}x > -\frac{6}{7}$

Умножим неравенство $y > 1$ на $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3}y > 1 \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}y > \frac{1}{3}$

Сложим полученные неравенства:
$\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -\frac{6}{7} + \frac{1}{3}$

Упростим правую часть, приведя дроби к общему знаменателю:
$-\frac{6}{7} + \frac{1}{3} = -\frac{18}{21} + \frac{7}{21} = -\frac{11}{21}$

Мы доказали, что $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -\frac{11}{21}$.
Поскольку $-\frac{11}{21} > -1$ (так как $\frac{11}{21} < 1$), то по свойству транзитивности из $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -\frac{11}{21}$ следует, что $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -1$.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что $2,7x + 1,1y > -7$.

Умножим неравенство $x > -3$ на положительное число $2,7$:
$2,7x > -3 \cdot 2,7$
$2,7x > -8,1$

Умножим неравенство $y > 1$ на положительное число $1,1$:
$1,1y > 1 \cdot 1,1$
$1,1y > 1,1$

Сложим полученные неравенства:
$2,7x + 1,1y > -8,1 + 1,1$

Вычислив правую часть, получаем:
$2,7x + 1,1y > -7$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

4) Докажем, что $1,1x + 2,7y > -0,7$.

Умножим неравенство $x > -3$ на $1,1$:
$1,1x > -3 \cdot 1,1$
$1,1x > -3,3$

Умножим неравенство $y > 1$ на $2,7$:
$2,7y > 1 \cdot 2,7$
$2,7y > 2,7$

Сложим полученные неравенства:
$1,1x + 2,7y > -3,3 + 2,7$

Упростим правую часть:
$1,1x + 2,7y > -0,6$

Мы получили, что $1,1x + 2,7y > -0,6$.
Так как $-0,6 > -0,7$, то по свойству транзитивности из $1,1x + 2,7y > -0,6$ следует, что $1,1x + 2,7y > -0,7$.

Ответ: Доказано.