Номер 299, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 299, страница 108.

Условие.

299. Решить неравенство:

1) $|x-1| \le 3.4;$

2) $|x-1| \ge 3.4;$

3) $|x-1| < 3.4;$

4) $|2x+1| \ge 3;$

5) $|5x+1| < 3;$

6) $|4x-0.8| \ge 2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано неравенство $|x-1| \le 3,4$.

Неравенство вида $|A| \le c$, где $c \ge 0$, равносильно двойному неравенству $-c \le A \le c$.

В нашем случае это означает:

$-3,4 \le x-1 \le 3,4$

Прибавим 1 ко всем трем частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-3,4 + 1 \le x - 1 + 1 \le 3,4 + 1$

$-2,4 \le x \le 4,4$

Таким образом, решение представляет собой отрезок от -2,4 до 4,4, включая концы.

Ответ: $x \in [-2,4; 4,4]$.

2) Дано неравенство $|x-1| \ge 3,4$.

Неравенство вида $|A| \ge c$, где $c \ge 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge c$ или $A \le -c$.

В нашем случае это означает:

$x-1 \ge 3,4$ или $x-1 \le -3,4$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x-1 \ge 3,4 \implies x \ge 3,4 + 1 \implies x \ge 4,4$

2) $x-1 \le -3,4 \implies x \le -3,4 + 1 \implies x \le -2,4$

Объединяя решения, получаем два промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,4] \cup [4,4; +\infty)$.

3) Дано неравенство $|x-1| < 3,4$.

Неравенство вида $|A| < c$, где $c > 0$, равносильно двойному неравенству $-c < A < c$.

Применяя это правило, получаем:

$-3,4 < x-1 < 3,4$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-3,4 + 1 < x - 1 + 1 < 3,4 + 1$

$-2,4 < x < 4,4$

Решением является интервал от -2,4 до 4,4.

Ответ: $x \in (-2,4; 4,4)$.

4) Дано неравенство $|2x+1| \ge 3$.

Это неравенство вида $|A| \ge c$, оно равносильно совокупности $A \ge c$ или $A \le -c$.

Получаем два неравенства:

$2x+1 \ge 3$ или $2x+1 \le -3$

Решаем их:

1) $2x+1 \ge 3 \implies 2x \ge 3 - 1 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$

2) $2x+1 \le -3 \implies 2x \le -3 - 1 \implies 2x \le -4 \implies x \le -2$

Решение является объединением полученных промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$.

5) Дано неравенство $|5x+1| < 3$.

Это неравенство вида $|A| < c$, оно равносильно двойному неравенству $-c < A < c$.

Записываем двойное неравенство:

$-3 < 5x+1 < 3$

Вычтем 1 из всех частей:

$-3 - 1 < 5x < 3 - 1$

$-4 < 5x < 2$

Разделим все части на 5:

$-\frac{4}{5} < x < \frac{2}{5}$

Переведем дроби в десятичный вид:

$-0,8 < x < 0,4$

Ответ: $x \in (-0,8; 0,4)$.

6) Дано неравенство $|4x-0,8| \ge 2$.

Неравенство вида $|A| \ge c$ равносильно совокупности $A \ge c$ или $A \le -c$.

Получаем два неравенства:

$4x-0,8 \ge 2$ или $4x-0,8 \le -2$

Решаем каждое из них:

1) $4x-0,8 \ge 2 \implies 4x \ge 2 + 0,8 \implies 4x \ge 2,8 \implies x \ge \frac{2,8}{4} \implies x \ge 0,7$

2) $4x-0,8 \le -2 \implies 4x \le -2 + 0,8 \implies 4x \le -1,2 \implies x \le \frac{-1,2}{4} \implies x \le -0,3$

Объединяем решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,3] \cup [0,7; +\infty)$.