Номер 301, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 301, страница 108.

Условие.

301. Пусть $a < 2b$. Доказать, что:

1) $4a - 2b < a + 4b;$

2) $3a - 2b < a + 2b;$

3) $a + 2b > 3a - 2b;$

4) $a + b > 4a - 5b.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать неравенство $4a - 2b < a + 4b$, преобразуем его, выполнив равносильные переходы. Перенесем все члены, содержащие $a$, в левую часть, а члены, содержащие $b$, — в правую:
$4a - a < 4b + 2b$
Приведем подобные слагаемые:
$3a < 6b$
Разделим обе части неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится:
$a < 2b$
Мы получили исходное условие, которое по условию задачи является верным. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $3a - 2b < a + 2b$. Для этого также выполним равносильные преобразования. Перенесем члены с $a$ в левую часть, а с $b$ — в правую:
$3a - a < 2b + 2b$
Упростим обе части:
$2a < 4b$
Разделим обе части на 2 (знак неравенства не меняется):
$a < 2b$
Полученное неравенство совпадает с исходным условием, значит, доказываемое неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем, что $a + 2b > 3a - 2b$. Преобразуем это неравенство. Перенесем члены с $a$ в правую часть, а члены с $b$ — в левую:
$2b + 2b > 3a - a$
Приведем подобные слагаемые:
$4b > 2a$
Разделим обе части неравенства на 2:
$2b > a$
Это неравенство равносильно исходному условию $a < 2b$. Следовательно, доказываемое неравенство является верным.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем, что $a + b > 4a - 5b$. Выполним равносильные преобразования. Перенесем члены с $b$ в левую часть, а с $a$ — в правую:
$b + 5b > 4a - a$
Упростим выражение:
$6b > 3a$
Разделим обе части на 3:
$2b > a$
Полученное неравенство $a < 2b$ является исходным условием. Таким образом, доказываемое неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.