Номер 297, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 2. Глава 2. Неравенства - номер 297, страница 108.

Условие.

297. Множество чисел $x$, изображённое на рисунке 29, записать в виде двойного неравенства и неравенства, содержащего знак модуля.

a) -5 0 5

б) -3 0 3

в) -3 0 3

г) -2 0 2

Рис. 29

Решение 4.

а) На рисунке изображено множество чисел $x$, расположенных на числовой прямой между $-5$ и $5$. Точки $-5$ и $5$ не принадлежат этому множеству, так как они отмечены выколотыми (пустыми) кружками. Это означает, что неравенства будут строгими.
Чтобы записать это множество в виде двойного неравенства, мы указываем, что $x$ находится между $-5$ и $5$:
$$-5 < x < 5$$
Чтобы записать это множество в виде неравенства с модулем, найдём центр интервала и его полудлину (радиус). Центр интервала: $c = \frac{-5 + 5}{2} = 0$. Полудлина интервала: $r = \frac{5 - (-5)}{2} = 5$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ меньше $r$, описывается неравенством $|x - c| < r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| < 5 \quad \text{или} \quad |x| < 5$$
Ответ: двойное неравенство: $-5 < x < 5$; неравенство с модулем: $|x| < 5$.

б) На рисунке изображено множество чисел $x$, расположенных на числовой прямой между $-3$ и $3$. Точки $-3$ и $3$ принадлежат этому множеству, так как они отмечены закрашенными (сплошными) кружками. Это означает, что неравенства будут нестрогими.
В виде двойного неравенства это записывается так:
$$-3 \le x \le 3$$
Для записи в виде неравенства с модулем, найдём центр и полудлину интервала. Центр: $c = \frac{-3 + 3}{2} = 0$. Полудлина: $r = \frac{3 - (-3)}{2} = 3$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ не превышает $r$, описывается неравенством $|x - c| \le r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| \le 3 \quad \text{или} \quad |x| \le 3$$
Ответ: двойное неравенство: $-3 \le x \le 3$; неравенство с модулем: $|x| \le 3$.

в) На рисунке изображено объединение двух множеств (лучей): всех чисел, которые меньше или равны $-3$, и всех чисел, которые больше или равны $3$. Граничные точки $-3$ и $3$ включены в множество, так как они отмечены закрашенными кружками.
Такое множество нельзя записать в виде одного двойного неравенства. Оно описывается совокупностью двух неравенств:
$$x \le -3 \quad \text{или} \quad x \ge 3$$
Чтобы записать это множество с помощью модуля, заметим, что оно состоит из всех точек, расстояние от которых до нуля больше или равно $3$. Центр симметрии здесь $c = 0$, а расстояние до граничных точек $r = 3$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ больше или равно $r$, описывается неравенством $|x - c| \ge r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| \ge 3 \quad \text{или} \quad |x| \ge 3$$
Ответ: совокупность неравенств: $x \le -3$ или $x \ge 3$; неравенство с модулем: $|x| \ge 3$.

г) На рисунке изображено объединение двух множеств (лучей): всех чисел, которые строго меньше $-2$, и всех чисел, которые строго больше $2$. Граничные точки $-2$ и $2$ не включены в множество, так как они отмечены выколотыми кружками.
Это множество нельзя представить в виде одного двойного неравенства. Оно описывается совокупностью двух строгих неравенств:
$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$$
Чтобы записать это множество с помощью модуля, отметим, что оно состоит из всех точек, расстояние от которых до нуля строго больше $2$. Центр симметрии $c = 0$, расстояние до граничных точек $r = 2$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ строго больше $r$, описывается неравенством $|x - c| > r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| > 2 \quad \text{или} \quad |x| > 2$$
Ответ: совокупность неравенств: $x < -2$ или $x > 2$; неравенство с модулем: $|x| > 2$.