Страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

288. 1) $\frac{2x + 3}{3x - 1} = 0;$

2) $\frac{1 - 2x}{2x + 5} = 0;$

3) $\frac{(2x + 1)(x + 2)}{x - 3} = 0;$

4) $\frac{(x - 3)(2x + 4)}{x + 1} = 0.$

1)

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Сначала приравняем числитель к нулю и найдем корень:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -3 / 2 = -1.5$
Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при найденном значении $x$. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
$3x - 1 \neq 0$
$3x \neq 1$
$x \neq 1/3$
Поскольку корень $x = -1.5$ не совпадает с ограничением $x \neq 1/3$, он является решением уравнения.
Ответ: -1.5

2)

Это дробно-рациональное уравнение. Решение существует, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Найдем значение $x$, при котором числитель равен нулю:
$1 - 2x = 0$
$1 = 2x$
$x = 1/2 = 0.5$
Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x + 5 \neq 0$
$2x \neq -5$
$x \neq -5/2 = -2.5$
Найденный корень $x = 0.5$ удовлетворяет условию $x \neq -2.5$, следовательно, он является решением.
Ответ: 0.5

3)

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю. Числитель представляет собой произведение, которое равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$(2x + 1)(x + 2) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_1 = -1/2 = -0.5$
2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Теперь проверим ОДЗ, чтобы знаменатель не был равен нулю:
$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$
Оба найденных корня ($x_1 = -0.5$ и $x_2 = -2$) не равны 3, поэтому оба являются решениями уравнения.
Ответ: -2; -0.5

4)

Уравнение равно нулю, если его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$(x - 3)(2x + 4) = 0$
Рассмотрим два случая:
1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
2) $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x_2 = -2$
Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$
Оба корня, $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$, удовлетворяют этому условию. Следовательно, оба являются решениями.
Ответ: -2; 3

289. На координатной прямой точка a лежит левее точки b. Положительно или отрицательно число:

1) $b-a$;

2) $2+b-a$;

3) $a-b$;

4) $a-3-b$?

Поскольку на координатной прямой точка $a$ лежит левее точки $b$, это означает, что значение координаты $a$ меньше значения координаты $b$. Математически это записывается как неравенство: $a < b$.

1) b - a;
Исходя из основного условия $a < b$, перенесем $a$ в правую часть неравенства. Получим $0 < b - a$. Это означает, что разность $b - a$ больше нуля. Следовательно, число положительное.
Ответ: положительно.

2) 2 + b - a;
Как мы установили в предыдущем пункте, выражение $b - a$ является положительным. Если к положительному числу $(b - a)$ прибавить другое положительное число 2, то результат их суммы $2 + (b - a)$ также будет положительным.
Ответ: положительно.

3) a - b;
Возьмем исходное неравенство $a < b$ и перенесем $b$ в левую часть. Получим $a - b < 0$. Это означает, что разность $a - b$ меньше нуля. Следовательно, число отрицательное.
Ответ: отрицательно.

4) a - 3 - b?
Преобразуем выражение, сгруппировав его части: $(a - b) - 3$. Из пункта 3 мы знаем, что выражение $a - b$ является отрицательным числом. Если из отрицательного числа вычесть положительное число 3, результат станет еще более отрицательным. Следовательно, число отрицательное.
Ответ: отрицательно.

290. Доказать, что:

1) $9x^2+1 \ge 6x$ при любом $x$;

2) $x+\frac{1}{16x} \ge \frac{1}{2}$ при $x > 0$;

3) $\frac{x}{2}+5 \le -\frac{25}{2x}$ при $x < 0$;

4) $\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > \frac{1}{3-x}$ при $x > 3$.

1) Требуется доказать, что $9x^2+1 \ge 6x$ при любом $x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9x^2 - 6x + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 3x$ и $b = 1$. Тогда:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

Сворачиваем выражение в квадрат:

$(3x - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Требуется доказать, что $x + \frac{1}{16x} \ge \frac{1}{2}$ при $x > 0$.

Поскольку по условию $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $16x$, не меняя знака неравенства:

$16x \cdot x + 16x \cdot \frac{1}{16x} \ge 16x \cdot \frac{1}{2}$

$16x^2 + 1 \ge 8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$16x^2 - 8x + 1 \ge 0$

Левая часть также является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 4x$ и $b = 1$.

$(4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

$(4x - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому данное неравенство верно. Так как все преобразования были равносильными при $x > 0$, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Требуется доказать, что $\frac{x}{2} + 5 \le -\frac{25}{2x}$ при $x < 0$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x}{2} + 5 + \frac{25}{2x} \le 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $2x$:

$\frac{x \cdot x}{2x} + \frac{5 \cdot 2x}{2x} + \frac{25}{2x} \le 0$

$\frac{x^2 + 10x + 25}{2x} \le 0$

В числителе находится полный квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 5$:

$\frac{(x+5)^2}{2x} \le 0$

Проанализируем полученное выражение с учетом условия $x < 0$.
Числитель $(x+5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда больше или равен нулю, то есть $(x+5)^2 \ge 0$.
Знаменатель $2x$, согласно условию $x < 0$, всегда отрицателен, то есть $2x < 0$.
Отношение неотрицательного числа (числителя) к отрицательному числу (знаменателю) всегда будет меньше или равно нулю. Равенство достигается при $x = -5$, что удовлетворяет условию $x < 0$. Таким образом, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Требуется доказать, что $\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > \frac{1}{3-x}$ при $x > 3$.

Преобразуем правую часть неравенства: $\frac{1}{3-x} = -\frac{1}{x-3}$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > -\frac{1}{x-3}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} + \frac{1}{x-3} > 0$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{(2x-1)(2x+1) + 1}{x-3} > 0$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{(4x^2 - 1) + 1}{x-3} > 0$

$\frac{4x^2}{x-3} > 0$

Проанализируем полученное выражение с учетом условия $x > 3$.
Числитель $4x^2$: поскольку $x > 3$, то $x \ne 0$. Значит $x^2 > 0$, и $4x^2 > 0$ (строго положительное число).
Знаменатель $x-3$: поскольку $x > 3$, то $x-3 > 0$ (строго положительное число).
Отношение положительного числа к положительному числу всегда положительно. Следовательно, неравенство верно при $x > 3$.

Ответ: Неравенство доказано.

291. Доказать, что:

1) если $3b-a < a-b$, то $a > 2b$;

2) если $2b+a > 2a-b$, то $a < 3b$;

3) если $\frac{2b}{3} - \frac{a}{6} > \frac{a}{3} + \frac{b}{6}$, то $a < b$;

4) если $1,24b - 0,37a < 2,63a - 1,76b$, то $a > b$.

1) Для доказательства преобразуем данное неравенство $3b - a < a - b$.
Перенесем все слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ в правую часть неравенства. Для этого прибавим к обеим частям $a$ и $b$:
$3b + b < a + a$
$4b < 2a$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства не изменится:
$2b < a$
Это неравенство эквивалентно $a > 2b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства преобразуем данное неравенство $2b + a > 2a - b$.
Перенесем все слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ в правую часть неравенства:
$2b + b > 2a - a$
$3b > a$
Это неравенство эквивалентно $a < 3b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Для доказательства преобразуем данное неравенство $\frac{2b}{3} - \frac{a}{6} > \frac{a}{3} + \frac{b}{6}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства сохраняется:
$6 \cdot (\frac{2b}{3} - \frac{a}{6}) > 6 \cdot (\frac{a}{3} + \frac{b}{6})$
$6 \cdot \frac{2b}{3} - 6 \cdot \frac{a}{6} > 6 \cdot \frac{a}{3} + 6 \cdot \frac{b}{6}$
$4b - a > 2a + b$
Теперь сгруппируем слагаемые: перенесем все слагаемые с $b$ налево, а с $a$ направо:
$4b - b > 2a + a$
$3b > 3a$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится:
$b > a$
Это неравенство эквивалентно $a < b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.

4) Для доказательства преобразуем данное неравенство $1,24b - 0,37a < 2,63a - 1,76b$.
Перенесем слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а с переменной $a$ в правую:
$1,24b + 1,76b < 2,63a + 0,37a$
Выполним сложение:
$3b < 3a$
Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства не изменится:
$b < a$
Это неравенство эквивалентно $a > b$, что и требовалось доказать.
Ответ: что и требовалось доказать.

292. Доказать, что:

1) если $x<1,2$ и $y<5$, то $x+y<6,2$;

2) если $x > \frac{1}{4}$ и $y>2$, то $xy > \frac{1}{2}$.

1)

Дано два неравенства: $x < 1,2$ и $y < 5$. Требуется доказать, что $x + y < 6,2$.

Для доказательства воспользуемся свойством сложения числовых неравенств. Это свойство гласит, что если сложить почленно два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака. То есть, если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$.

В нашем случае оба неравенства имеют знак «меньше» ($<$). Сложим левые части неравенств между собой, а правые — между собой:

$x + y < 1,2 + 5$

Теперь вычислим сумму в правой части неравенства:

$1,2 + 5 = 6,2$

Подставив результат обратно в неравенство, получаем:

$x + y < 6,2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказывается с помощью свойства почленного сложения неравенств одного знака. Сложив неравенства $x < 1,2$ и $y < 5$, мы получаем $x + y < 1,2 + 5$, что эквивалентно $x + y < 6,2$.

2)

Дано два неравенства: $x > \frac{1}{4}$ и $y > 2$. Требуется доказать, что $xy > \frac{1}{2}$.

Для доказательства воспользуемся свойством умножения числовых неравенств. Это свойство гласит, что если почленно перемножить два верных неравенства одного знака, в которых все части положительны, то получится верное неравенство того же знака. То есть, если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Проверим, что все части наших неравенств положительны. Из условия $x > \frac{1}{4}$ следует, что $x > 0$. Из условия $y > 2$ следует, что $y > 0$. Правые части неравенств ($\frac{1}{4}$ и $2$) также положительны. Следовательно, мы можем применить свойство почленного умножения.

Перемножим левые и правые части исходных неравенств:

$x \cdot y > \frac{1}{4} \cdot 2$

Теперь вычислим произведение в правой части неравенства:

$\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Подставив результат обратно, получаем:

$xy > \frac{1}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказывается с помощью свойства почленного умножения неравенств одного знака с положительными частями. Поскольку $x > \frac{1}{4} > 0$ и $y > 2 > 0$, мы можем перемножить неравенства и получить $xy > \frac{1}{4} \cdot 2$, что эквивалентно $xy > \frac{1}{2}$.

293. Доказать, что если $x > -3$ и $y > 1$, то:

1) $\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -\frac{5}{7}$;

2) $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -1$;

3) $2,7x + 1,1y > -7$;

4) $1,1x + 2,7y > -0,7$.

Для доказательства всех неравенств будем использовать исходные условия $x > -3$ и $y > 1$, а также свойства числовых неравенств: возможность умножения на положительное число с сохранением знака неравенства и возможность почленного сложения неравенств одного знака.

1) Докажем, что $\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -\frac{5}{7}$.

Сначала преобразуем исходные неравенства. Умножим обе части неравенства $x > -3$ на положительное число $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3}x > -3 \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}x > -1$

Теперь умножим обе части неравенства $y > 1$ на положительное число $\frac{2}{7}$:
$\frac{2}{7}y > 1 \cdot \frac{2}{7}$
$\frac{2}{7}y > \frac{2}{7}$

Сложим почленно полученные неравенства $\frac{1}{3}x > -1$ и $\frac{2}{7}y > \frac{2}{7}$:
$\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -1 + \frac{2}{7}$

Вычислим значение выражения в правой части:
$-1 + \frac{2}{7} = -\frac{7}{7} + \frac{2}{7} = -\frac{5}{7}$

Таким образом, мы получили $\frac{1}{3}x + \frac{2}{7}y > -\frac{5}{7}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -1$.

Умножим неравенство $x > -3$ на $\frac{2}{7}$:
$\frac{2}{7}x > -3 \cdot \frac{2}{7}$
$\frac{2}{7}x > -\frac{6}{7}$

Умножим неравенство $y > 1$ на $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3}y > 1 \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}y > \frac{1}{3}$

Сложим полученные неравенства:
$\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -\frac{6}{7} + \frac{1}{3}$

Упростим правую часть, приведя дроби к общему знаменателю:
$-\frac{6}{7} + \frac{1}{3} = -\frac{18}{21} + \frac{7}{21} = -\frac{11}{21}$

Мы доказали, что $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -\frac{11}{21}$.
Поскольку $-\frac{11}{21} > -1$ (так как $\frac{11}{21} < 1$), то по свойству транзитивности из $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -\frac{11}{21}$ следует, что $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3}y > -1$.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что $2,7x + 1,1y > -7$.

Умножим неравенство $x > -3$ на положительное число $2,7$:
$2,7x > -3 \cdot 2,7$
$2,7x > -8,1$

Умножим неравенство $y > 1$ на положительное число $1,1$:
$1,1y > 1 \cdot 1,1$
$1,1y > 1,1$

Сложим полученные неравенства:
$2,7x + 1,1y > -8,1 + 1,1$

Вычислив правую часть, получаем:
$2,7x + 1,1y > -7$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

4) Докажем, что $1,1x + 2,7y > -0,7$.

Умножим неравенство $x > -3$ на $1,1$:
$1,1x > -3 \cdot 1,1$
$1,1x > -3,3$

Умножим неравенство $y > 1$ на $2,7$:
$2,7y > 1 \cdot 2,7$
$2,7y > 2,7$

Сложим полученные неравенства:
$1,1x + 2,7y > -3,3 + 2,7$

Упростим правую часть:
$1,1x + 2,7y > -0,6$

Мы получили, что $1,1x + 2,7y > -0,6$.
Так как $-0,6 > -0,7$, то по свойству транзитивности из $1,1x + 2,7y > -0,6$ следует, что $1,1x + 2,7y > -0,7$.

Ответ: Доказано.

294. Пусть $a > b > 0$. Доказать, что:

1) $a^3 > b^3$;

2) $a^3 > ab^2$;

3) $a^4 > a^2b^2$;

4) $a^2b^2 > b^4$.

1) Чтобы доказать неравенство $a^3 > b^3$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^3 - b^3$. Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Проанализируем знаки множителей в правой части равенства.

• По условию $a > b$, следовательно, разность $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, поэтому $a^2 > 0$, $b^2 > 0$ и произведение $ab > 0$. Сумма трех положительных слагаемых $a^2 + ab + b^2$ также будет положительной.

Поскольку оба множителя, $(a - b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$, положительны, их произведение тоже положительно. Следовательно, $a^3 - b^3 > 0$, что равносильно $a^3 > b^3$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.

2) Чтобы доказать неравенство $a^3 > ab^2$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^3 - ab^2$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов: $a(a^2 - b^2) = a(a - b)(a + b)$. Проанализируем знаки каждого множителя:

• По условию $a > 0$.
• По условию $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b > 0$.

Произведение трех положительных множителей $a$, $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. Следовательно, $a^3 - ab^2 > 0$, что равносильно $a^3 > ab^2$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.

3) Чтобы доказать неравенство $a^4 > a^2b^2$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^4 - a^2b^2$. Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов: $a^2(a^2 - b^2) = a^2(a - b)(a + b)$. Проанализируем знаки каждого множителя:

• По условию $a > 0$, следовательно, $a^2 > 0$.
• По условию $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b > 0$.

Произведение трех положительных множителей $a^2$, $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. Следовательно, $a^4 - a^2b^2 > 0$, что равносильно $a^4 > a^2b^2$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.

4) Чтобы доказать неравенство $a^2b^2 > b^4$, рассмотрим разность левой и правой частей: $a^2b^2 - b^4$. Вынесем общий множитель $b^2$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов: $b^2(a^2 - b^2) = b^2(a - b)(a + b)$. Проанализируем знаки каждого множителя:

• По условию $b > 0$, следовательно, $b^2 > 0$.
• По условию $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.
• По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b > 0$.

Произведение трех положительных множителей $b^2$, $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. Следовательно, $a^2b^2 - b^4 > 0$, что равносильно $a^2b^2 > b^4$. Неравенство доказано.
Ответ: доказано.

295. Решить неравенство:

1) $x + 9 > 8 - 4x;$

2) $3(y + 4) \ge 4 - (1 - 3y);$

3) $5(0,2 + y) - 1,8 \ge 4,3 + 5y;$

4) $3(x - 5) + 9 > 15.$

1) $x + 9 > 8 - 4x$

Для решения неравенства перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$x + 4x > 8 - 9$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$5x > -1$

Разделим обе части неравенства на 5. Поскольку 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > -\frac{1}{5}$

$x > -0,2$

Решением неравенства является интервал $(-0,2; +\infty)$.

Ответ: $x > -0,2$

2) $3(y + 4) \ge 4 - (1 - 3y)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3y + 12 \ge 4 - 1 + 3y$

Упростим правую часть:

$3y + 12 \ge 3 + 3y$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3y - 3y \ge 3 - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot y \ge -9$

$0 \ge -9$

Это неравенство является верным числовым неравенством. Оно не зависит от значения переменной $y$. Следовательно, исходное неравенство справедливо при любом значении $y$.

Ответ: $y$ - любое число (или $y \in (-\infty; +\infty)$).

3) $5(0,2 + y) - 1,8 \ge 4,3 + 5y$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$5 \cdot 0,2 + 5y - 1,8 \ge 4,3 + 5y$

$1 + 5y - 1,8 \ge 4,3 + 5y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-0,8 + 5y \ge 4,3 + 5y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5y - 5y \ge 4,3 + 0,8$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot y \ge 5,1$

$0 \ge 5,1$

Получилось неверное числовое неравенство, так как 0 не больше и не равен 5,1. Это означает, что не существует такого значения $y$, при котором исходное неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений.

4) $3(x - 5) + 9 > 15$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3x - 15 + 9 > 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 6 > 15$

Перенесем числовое слагаемое -6 в правую часть с противоположным знаком:

$3x > 15 + 6$

$3x > 21$

Разделим обе части неравенства на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > 7$

Решением неравенства является интервал $(7; +\infty)$.

Ответ: $x > 7$

296. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 0,5(x + 3) - 0,8 < 0,4(x + 2) - 0,3, \\ 0,7(2 - x) + 1,3 < 0,6(1 - x) + 2,2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 1,5(x - 2) - 2,1 < 1,3(x - 1) + 2,5, \\ 1,3(x + 3) + 1,7 > 1,6(x + 2) + 1,8. \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3,4(x + 1) + 0,4 \ge 1,9(x - 2) + 1,6, \\ 2,8(x + 3) - x \ge 2,2(x + 4) - 1,2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 0,5(x + 3) - 0,8 < 0,4(x + 2) - 0,3 \\ 0,7(2 - x) + 1,3 < 0,6(1 - x) + 2,2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$0,5(x + 3) - 0,8 < 0,4(x + 2) - 0,3$
Для удобства вычислений умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$5(x + 3) - 8 < 4(x + 2) - 3$
Раскроем скобки:
$5x + 15 - 8 < 4x + 8 - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$5x + 7 < 4x + 5$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$5x - 4x < 5 - 7$
$x < -2$

Решим второе неравенство:
$0,7(2 - x) + 1,3 < 0,6(1 - x) + 2,2$
Умножим обе части на 10:
$7(2 - x) + 13 < 6(1 - x) + 22$
Раскроем скобки:
$14 - 7x + 13 < 6 - 6x + 22$
Приведем подобные слагаемые:
$27 - 7x < 28 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$27 - 28 < -6x + 7x$
$-1 < x$, что эквивалентно $x > -1$

Объединим решения обоих неравенств в систему:
$ \begin{cases} x < -2 \\ x > -1 \end{cases} $
Решение системы — это пересечение множеств решений каждого неравенства. На числовой прямой интервал $(-\infty; -2)$ и интервал $(-1; +\infty)$ не имеют общих точек.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

2) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 1,5(x - 2) - 2,1 < 1,3(x - 1) + 2,5 \\ 1,3(x + 3) + 1,7 > 1,6(x + 2) + 1,8 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$1,5(x - 2) - 2,1 < 1,3(x - 1) + 2,5$
Умножим обе части на 10:
$15(x - 2) - 21 < 13(x - 1) + 25$
Раскроем скобки:
$15x - 30 - 21 < 13x - 13 + 25$
Приведем подобные слагаемые:
$15x - 51 < 13x + 12$
Перенесем слагаемые:
$15x - 13x < 12 + 51$
$2x < 63$
$x < 31,5$

Решим второе неравенство:
$1,3(x + 3) + 1,7 > 1,6(x + 2) + 1,8$
Умножим обе части на 10:
$13(x + 3) + 17 > 16(x + 2) + 18$
Раскроем скобки:
$13x + 39 + 17 > 16x + 32 + 18$
Приведем подобные слагаемые:
$13x + 56 > 16x + 50$
Перенесем слагаемые:
$56 - 50 > 16x - 13x$
$6 > 3x$
$2 > x$, что эквивалентно $x < 2$

Объединим решения обоих неравенств в систему:
$ \begin{cases} x < 31,5 \\ x < 2 \end{cases} $
Пересечением этих двух множеств является множество $x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3,4(x + 1) + 0,4 \ge 1,9(x - 2) + 1,6 \\ 2,8(x + 3) - x \ge 2,2(x + 4) - 1,2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$3,4(x + 1) + 0,4 \ge 1,9(x - 2) + 1,6$
Умножим обе части на 10:
$34(x + 1) + 4 \ge 19(x - 2) + 16$
Раскроем скобки:
$34x + 34 + 4 \ge 19x - 38 + 16$
Приведем подобные слагаемые:
$34x + 38 \ge 19x - 22$
Перенесем слагаемые:
$34x - 19x \ge -22 - 38$
$15x \ge -60$
$x \ge -4$

Решим второе неравенство:
$2,8(x + 3) - x \ge 2,2(x + 4) - 1,2$
Упростим левую часть:
$2,8x + 8,4 - x \ge 2,2x + 8,8 - 1,2$
$1,8x + 8,4 \ge 2,2x + 7,6$
Перенесем слагаемые:
$8,4 - 7,6 \ge 2,2x - 1,8x$
$0,8 \ge 0,4x$
$2 \ge x$, что эквивалентно $x \le 2$

Объединим решения обоих неравенств в систему:
$ \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 2 \end{cases} $
Пересечением этих двух множеств является отрезок от -4 до 2, включая концы.
$-4 \le x \le 2$
Ответ: $x \in [-4; 2]$.