Страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

278. Соглано оптическим и радиолокационным измерениям диаметр Меркурия равен $(4880 \pm 2)$ км, а радиус Венеры равен $(6050 \pm 5)$ км. Записать результат измерения в виде двойного неравенства.

Чтобы записать результат измерения, представленный в виде $a \pm h$, как двойное неравенство, необходимо найти нижнюю и верхнюю границы возможного значения. Нижняя граница равна $a - h$, а верхняя — $a + h$. Таким образом, неравенство принимает вид $a - h \le x \le a + h$, где $x$ — измеряемая величина.

Диаметр Меркурия

Результат измерения диаметра Меркурия равен $(4880 \pm 2)$ км. Обозначим диаметр как $D$. В этом случае, $a = 4880$ км, а погрешность $h = 2$ км.

Найдем нижнюю границу значения диаметра: $D_{min} = 4880 - 2 = 4878$ км.

Найдем верхнюю границу значения диаметра: $D_{max} = 4880 + 2 = 4882$ км.

Следовательно, результат измерения диаметра Меркурия в виде двойного неравенства записывается так: $4878 \le D \le 4882$.

Ответ: $4878 \le D \le 4882$ км.

Радиус Венеры

Результат измерения радиуса Венеры равен $(6050 \pm 5)$ км. Обозначим радиус как $R$. В этом случае, $a = 6050$ км, а погрешность $h = 5$ км.

Найдем нижнюю границу значения радиуса: $R_{min} = 6050 - 5 = 6045$ км.

Найдем верхнюю границу значения радиуса: $R_{max} = 6050 + 5 = 6055$ км.

Таким образом, результат измерения радиуса Венеры в виде двойного неравенства записывается так: $6045 \le R \le 6055$.

Ответ: $6045 \le R \le 6055$ км.

279. В отделе технического контроля завода измеряется диаметр вала с точностью до 0,1 мм. По таблице допусков диаметр $d$ вала должен быть в промежутке $167,8 \le d \le 168,2$. Забракуют ли вал, если его диаметр равен 168,1 мм?

Согласно условию задачи, допустимый диаметр вала $d$ должен находиться в промежутке от 167,8 мм до 168,2 мм включительно. Это требование можно записать в виде двойного неравенства: $167,8 \le d \le 168,2$.

Нам дан вал, измеренный диаметр которого составляет 168,1 мм. Чтобы определить, будет ли он забракован, нужно проверить, попадает ли это значение в указанный допуск.

Подставим измеренное значение в неравенство: $167,8 \le 168,1 \le 168,2$.

Это двойное неравенство верно, так как выполняются обе его части: $167,8 \le 168,1$ и $168,1 \le 168,2$. Первое неравенство верно, поскольку 168,1 больше 167,8. Второе неравенство также верно, поскольку 168,1 меньше 168,2.

Поскольку измеренный диаметр 168,1 мм находится в пределах допустимого диапазона [$167,8; 168,2$], вал соответствует требованиям технического контроля. Таким образом, его не забракуют.

Ответ: нет, вал не забракуют.

280. Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: $3285.05384$; $6377.00753$; $1234.5336$.

Для решения этой задачи необходимо округлить каждое из чисел до указанных разрядов. При округлении числа мы смотрим на цифру, следующую за разрядом, до которого мы округляем. Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде мы увеличиваем на единицу. Если следующая цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде мы оставляем без изменений. Все цифры, стоящие правее округляемого разряда, в дробной части отбрасываются, а в целой части заменяются нулями.

Для числа 3285,05384

до тысячных: Округляем до третьего знака после запятой ($3285,053$). Следующая цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем последнюю цифру на 1. Получаем $3285,054$.

до сотых: Округляем до второго знака после запятой ($3285,05$). Следующая цифра — 3. Так как $3 < 5$, оставляем последнюю цифру без изменений. Получаем $3285,05$.

до десятых долей: Округляем до первого знака после запятой ($3285,0$). Следующая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем последнюю цифру на 1. Получаем $3285,1$.

до единиц: Округляем до целых ($3285$). Первая цифра после запятой — 0. Так как $0 < 5$, разряд единиц не меняем. Получаем $3285$.

до десятков: Округляем до десятков ($3280$). Смотрим на разряд единиц — 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков на 1. Получаем $3290$.

до сотен: Округляем до сотен ($3200$). Смотрим на разряд десятков — 8. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем разряд сотен на 1. Получаем $3300$.

до тысяч: Округляем до тысяч ($3000$). Смотрим на разряд сотен — 2. Так как $2 < 5$, разряд тысяч не меняем. Получаем $3000$.

Ответ: $3285,054$; $3285,05$; $3285,1$; $3285$; $3290$; $3300$; $3000$.

Для числа 6377,00753

до тысячных: $6377,00753 \approx 6377,008$ (так как следующая цифра 5)

до сотых: $6377,00753 \approx 6377,01$ (так как следующая цифра 7)

до десятых долей: $6377,00753 \approx 6377,0$ (так как следующая цифра 0)

до единиц: $6377,00753 \approx 6377$ (так как следующая цифра 0)

до десятков: $6377,00753 \approx 6380$ (так как в разряде единиц стоит 7)

до сотен: $6377,00753 \approx 6400$ (так как в разряде десятков стоит 7)

до тысяч: $6377,00753 \approx 6000$ (так как в разряде сотен стоит 3)

Ответ: $6377,008$; $6377,01$; $6377,0$; $6377$; $6380$; $6400$; $6000$.

Для числа 1234,5336

до тысячных: $1234,5336 \approx 1234,534$ (так как следующая цифра 6)

до сотых: $1234,5336 \approx 1234,53$ (так как следующая цифра 3)

до десятых долей: $1234,5336 \approx 1234,5$ (так как следующая цифра 3)

до единиц: $1234,5336 \approx 1235$ (так как следующая цифра 5)

до десятков: $1234,5336 \approx 1230$ (так как в разряде единиц стоит 4)

до сотен: $1234,5336 \approx 1200$ (так как в разряде десятков стоит 3)

до тысяч: $1234,5336 \approx 1000$ (так как в разряде сотен стоит 2)

Ответ: $1234,534$; $1234,53$; $1234,5$; $1235$; $1230$; $1200$; $1000$.

281. Округлить числа 15,75 и 317,25 до единиц с недостатком и с избытком. Найти абсолютную погрешность каждого округления.

Задача состоит из двух частей: округление числа 15,75 и округление числа 317,25. Решим каждую часть последовательно.

Округление числа 15,75

Сначала округлим число 15,75 до единиц с недостатком. Это означает, что мы берем наибольшее целое число, которое не больше 15,75. Таким числом является 15.

Теперь найдем абсолютную погрешность этого округления. Абсолютная погрешность ($ \Delta $) вычисляется как модуль разности между точным значением ($x$) и его приближением ($a$): $ \Delta = |x - a| $.

В нашем случае: $ \Delta_1 = |15,75 - 15| = 0,75 $.

Далее округлим число 15,75 до единиц с избытком. Это означает, что мы берем наименьшее целое число, которое не меньше 15,75. Таким числом является 16.

Абсолютная погрешность для этого случая: $ \Delta_2 = |15,75 - 16| = |-0,25| = 0,25 $.

Ответ: При округлении числа 15,75 до единиц с недостатком получаем 15, абсолютная погрешность равна 0,75. При округлении с избытком получаем 16, абсолютная погрешность равна 0,25.

Округление числа 317,25

Округлим число 317,25 до единиц с недостатком. Получаем 317.

Абсолютная погрешность этого округления: $ \Delta_3 = |317,25 - 317| = 0,25 $.

Теперь округлим число 317,25 до единиц с избытком. Получаем 318.

Абсолютная погрешность этого округления: $ \Delta_4 = |317,25 - 318| = |-0,75| = 0,75 $.

Ответ: При округлении числа 317,25 до единиц с недостатком получаем 317, абсолютная погрешность равна 0,25. При округлении с избытком получаем 318, абсолютная погрешность равна 0,75.

282. Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число:

1) $ \frac{13}{8} $;

2) $ \frac{17}{25} $;

3) $ \frac{39}{129} $;

4) $ \frac{11}{3} $;

5) $ \frac{5}{7} $;

6) $ \frac{19}{11} $.

Для того чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной с точностью до 0,1, необходимо сначала перевести дробь в десятичную (разделив числитель на знаменатель), а затем округлить полученное число до разряда десятых. Для этого нужно посмотреть на цифру в следующем разряде (сотых): если она от 0 до 4, то цифра в разряде десятых не меняется, а все последующие отбрасываются; если она от 5 до 9, то цифра в разряде десятых увеличивается на единицу, а все последующие отбрасываются.

1) Чтобы представить дробь $ \frac{13}{8} $ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель: $ 13 \div 8 = 1,625 $. Для округления этого числа с точностью до 0,1 смотрим на цифру в разряде сотых. В данном случае это 2. Так как $ 2 \lt 5 $, округляем в меньшую сторону, отбрасывая цифры после разряда десятых. Таким образом, $ 1,625 \approx 1,6 $.
Ответ: 1,6.

2) Чтобы представить дробь $ \frac{17}{25} $ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 4: $ \frac{17 \times 4}{25 \times 4} = \frac{68}{100} = 0,68 $. Для округления числа 0,68 с точностью до 0,1 смотрим на цифру в разряде сотых. Это 8. Так как $ 8 \ge 5 $, округляем в большую сторону, то есть увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу ($ 6+1=7 $). Таким образом, $ 0,68 \approx 0,7 $.
Ответ: 0,7.

3) Представим дробь $ \frac{39}{129} $ в виде десятичной. Для удобства можно сначала сократить дробь на 3: $ \frac{39 \div 3}{129 \div 3} = \frac{13}{43} $. Теперь разделим 13 на 43, вычислив результат как минимум до сотых: $ 13 \div 43 \approx 0,302... $. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 0. Так как $ 0 \lt 5 $, округляем в меньшую сторону. Таким образом, $ 0,302... \approx 0,3 $.
Ответ: 0,3.

4) Представим дробь $ \frac{11}{3} $ в виде десятичной. Разделим 11 на 3: $ 11 \div 3 = 3,666... = 3,(6) $. Получилась бесконечная периодическая дробь. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 6. Так как $ 6 \ge 5 $, округляем в большую сторону, увеличивая цифру в разряде десятых на единицу ($ 6+1=7 $). Таким образом, $ 3,(6) \approx 3,7 $.
Ответ: 3,7.

5) Представим дробь $ \frac{5}{7} $ в виде десятичной. Разделим 5 на 7: $ 5 \div 7 \approx 0,714... $. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 1. Так как $ 1 \lt 5 $, округляем в меньшую сторону, оставляя цифру в разряде десятых без изменений. Таким образом, $ 0,714... \approx 0,7 $.
Ответ: 0,7.

6) Представим дробь $ \frac{19}{11} $ в виде десятичной. Разделим 19 на 11: $ 19 \div 11 = 1,7272... = 1,(72) $. Получилась бесконечная периодическая дробь. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 2. Так как $ 2 \lt 5 $, округляем в меньшую сторону, оставляя цифру в разряде десятых без изменений. Таким образом, $ 1,(72) \approx 1,7 $.
Ответ: 1,7.

283. Используя калькулятор, представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,01 число:

1) $\frac{3}{7}$;

2) $\frac{7}{99}$;

3) $\frac{5}{19}$;

4) $1\frac{2}{3}$;

5) $2\frac{3}{11}$;

6) $5\frac{1}{14}$.

1) Чтобы представить дробь $ \frac{3}{7} $ в виде десятичной дроби с точностью до 0,01, необходимо разделить числитель на знаменатель и округлить результат до сотых.
С помощью калькулятора находим: $ 3 \div 7 \approx 0,42857... $
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. В данном случае это 8. Так как $ 8 \ge 5 $, округляем вторую цифру после запятой (2) в большую сторону, то есть до 3.
Получаем: $ \frac{3}{7} \approx 0,43 $.
Ответ: $ 0,43 $.

2) Разделим числитель 7 на знаменатель 99:
$ 7 \div 99 \approx 0,070707... $
Третья цифра после запятой – 0. Так как $ 0 < 5 $, оставляем вторую цифру после запятой (7) без изменений.
Получаем: $ \frac{7}{99} \approx 0,07 $.
Ответ: $ 0,07 $.

3) Разделим числитель 5 на знаменатель 19:
$ 5 \div 19 \approx 0,26315... $
Третья цифра после запятой – 3. Так как $ 3 < 5 $, оставляем вторую цифру после запятой (6) без изменений.
Получаем: $ \frac{5}{19} \approx 0,26 $.
Ответ: $ 0,26 $.

4) Сначала представим дробную часть смешанного числа $ 1\frac{2}{3} $ в виде десятичной дроби.
$ 2 \div 3 = 0,6666... $
Таким образом, $ 1\frac{2}{3} = 1,6666... $
Третья цифра после запятой – 6. Так как $ 6 \ge 5 $, округляем вторую цифру после запятой (6) в большую сторону, то есть до 7.
Получаем: $ 1\frac{2}{3} \approx 1,67 $.
Ответ: $ 1,67 $.

5) Рассмотрим смешанное число $ 2\frac{3}{11} $. Целая часть равна 2. Найдем десятичное представление дробной части.
$ 3 \div 11 \approx 0,272727... $
Следовательно, $ 2\frac{3}{11} \approx 2,272727... $
Третья цифра после запятой – 2. Так как $ 2 < 5 $, оставляем вторую цифру после запятой (7) без изменений.
Получаем: $ 2\frac{3}{11} \approx 2,27 $.
Ответ: $ 2,27 $.

6) Рассмотрим смешанное число $ 5\frac{1}{14} $. Целая часть равна 5. Найдем десятичное представление дробной части.
$ 1 \div 14 \approx 0,071428... $
Следовательно, $ 5\frac{1}{14} \approx 5,071428... $
Третья цифра после запятой – 1. Так как $ 1 < 5 $, оставляем вторую цифру после запятой (7) без изменений.
Получаем: $ 5\frac{1}{14} \approx 5,07 $.
Ответ: $ 5,07 $.

284. Скорость движения пассажирского поезда равна 81,37 км/ч. Машинист округлил это число до 81 км/ч, а пассажир — до 82 км/ч. Найти абсолютную погрешность каждого приближения. У кого из них погрешность приближения оказалась меньше?

Для решения задачи воспользуемся определением абсолютной погрешности. Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением и приближённым значением. Формула для вычисления: $Δ = |x - a|$, где $x$ — точное значение, а $a$ — приближённое значение.

В данном случае точное значение скорости поезда $x = 81,37$ км/ч.

Найти абсолютную погрешность каждого приближения.
1. Найдём абсолютную погрешность для приближения, сделанного машинистом. Его приближённое значение $a_1 = 81$ км/ч.
Абсолютная погрешность $Δ_1$ равна:
$Δ_1 = |81,37 - 81| = |0,37| = 0,37$ км/ч.
2. Найдём абсолютную погрешность для приближения, сделанного пассажиром. Его приближённое значение $a_2 = 82$ км/ч.
Абсолютная погрешность $Δ_2$ равна:
$Δ_2 = |81,37 - 82| = |-0,63| = 0,63$ км/ч.
Ответ: Абсолютная погрешность приближения машиниста равна 0,37 км/ч, а абсолютная погрешность приближения пассажира — 0,63 км/ч.

У кого из них погрешность приближения оказалась меньше?
Теперь сравним полученные значения абсолютных погрешностей: $Δ_1 = 0,37$ км/ч и $Δ_2 = 0,63$ км/ч.
Поскольку $0,37 < 0,63$, то $Δ_1 < Δ_2$.
Следовательно, приближение машиниста является более точным.
Ответ: Погрешность приближения оказалась меньше у машиниста.

285. Олень движется со скоростью $13,8 \text{ м/с}$. Выразить эту скорость в километрах в час и округлить с точностью до $1 \text{ км/ч}$.

Для решения этой задачи необходимо перевести скорость из метров в секунду (м/с) в километры в час (км/ч) и затем округлить полученное значение.

1. Перевод единиц измерения скорости.
Чтобы перевести скорость из м/с в км/ч, нужно использовать следующие соотношения:
В 1 километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
В 1 часе содержится 3600 секунд ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$).
Следовательно, чтобы перевести скорость из м/с в км/ч, нужно умножить значение на коэффициент $\frac{3600}{1000} = 3.6$.
$v_{\text{км/ч}} = v_{\text{м/с}} \times 3.6$

2. Вычисление скорости в км/ч.
Скорость оленя составляет $13.8 \text{ м/с}$. Умножим это значение на 3.6, чтобы получить скорость в км/ч:
$13.8 \times 3.6 = 49.68 \text{ км/ч}$

3. Округление результата.
По условию задачи, результат нужно округлить с точностью до 1 км/ч, то есть до ближайшего целого числа.
Округляем число $49.68$. Первая цифра после запятой — 6. Поскольку $6 \geq 5$, округляем целую часть (49) в большую сторону.
$49.68 \text{ км/ч} \approx 50 \text{ км/ч}$

Ответ: $50 \text{ км/ч}$.

286. Число $\pi \approx 3,141592654$ есть отношение длины окружности к её диаметру.

1) Округлить это число до миллионных, тысячных, сотых.

2) С какой точностью проведено округление, если в записи оставлено 5 цифр после запятой?

1) Для округления числа $\pi \approx 3,141592654$ до заданных разрядов необходимо посмотреть на цифру, следующую за разрядом, до которого производится округление. Если эта цифра 5 или больше, то последняя оставляемая цифра увеличивается на 1. Если она меньше 5, то последняя оставляемая цифра не меняется.

• Округление до миллионных (шестой знак после запятой):
  В числе $3,141592\underline{6}54$ седьмая цифра после запятой — это 6. Так как $6 \ge 5$, то шестую цифру (2) увеличиваем на единицу. Результат: $3,141593$.
• Округление до тысячных (третий знак после запятой):
  В числе $3,141\underline{5}92654$ четвертая цифра после запятой — это 5. Так как $5 \ge 5$, то третью цифру (1) увеличиваем на единицу. Результат: $3,142$.
• Округление до сотых (второй знак после запятой):
  В числе $3,14\underline{1}592654$ третья цифра после запятой — это 1. Так как $1 < 5$, то вторую цифру (4) оставляем без изменений. Результат: $3,14$.

Ответ: до миллионных — $3,141593$; до тысячных — $3,142$; до сотых — $3,14$.

2) Если в записи числа оставлено 5 цифр после запятой, это означает, что округление выполнено до пятого знака после запятой. Разряды после запятой именуются в следующем порядке: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные и т.д. Пятый разряд — это разряд стотысячных. Следовательно, точность такого округления составляет одну стотысячную.

Ответ: Округление проведено с точностью до стотысячных ($0,00001$).

Решить уравнение (287—288).

287.

1) $x(2x+5)=0;$

2) $x(3x-4)=0;$

3) $(x-5)(3x+1)=0;$

4) $(x+4)(2x-1)=0.$

1) $x(2x + 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение распадается на два более простых уравнения:

1) $x = 0$

2) $2x + 5 = 0$
$2x = -5$
$x = -5/2 = -2.5$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2.5$.

2) $x(3x - 4) = 0$

Данное уравнение решается по тому же принципу. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$

2) $3x - 4 = 0$
$3x = 4$
$x = 4/3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4/3$.

3) $(x - 5)(3x + 1) = 0$

Произведение двух выражений в скобках равно нулю, если хотя бы одно из этих выражений равно нулю. Рассматриваем оба случая, приравнивая каждую скобку к нулю:

1) $x - 5 = 0$
$x = 5$

2) $3x + 1 = 0$
$3x = -1$
$x = -1/3$

Корни уравнения - это найденные значения x.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -1/3$.

4) $(x + 4)(2x - 1) = 0$

Приравниваем каждую из скобок к нулю, так как их произведение равно нулю. Получаем два линейных уравнения:

1) $x + 4 = 0$
$x = -4$

2) $2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = 1/2 = 0.5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 0.5$.