Страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Оценить кинетическую энергию E(Дж) тела массой m(кг), движущегося со скоростью v (м/с), если:

1) $2 \le m \le 3$, $1 \le v \le 2$;

2) $3 < m < 4$, $6 < v < 8$. Известно, что $E = \frac{mv^2}{2}$.

1) Для оценки кинетической энергии $E$ воспользуемся формулой $E = \frac{mv^2}{2}$ и данными нестрогими неравенствами: $2 \le m \le 3$ и $1 \le v \le 2$.

Поскольку скорость $v$ является положительной величиной, мы можем возвести в квадрат все части неравенства для скорости, сохранив знаки неравенства: $1^2 \le v^2 \le 2^2$, что преобразуется в $1 \le v^2 \le 4$.

Теперь у нас есть два неравенства для положительных величин $m$ и $v^2$: $2 \le m \le 3$ и $1 \le v^2 \le 4$. Чтобы найти диапазон для их произведения $mv^2$, необходимо перемножить соответствующие границы. Минимальное значение произведения будет равно произведению минимальных значений, а максимальное — произведению максимальных:
$2 \cdot 1 \le m \cdot v^2 \le 3 \cdot 4$
$2 \le mv^2 \le 12$

Наконец, чтобы найти оценку для энергии $E$, разделим все части полученного двойного неравенства на 2:
$\frac{2}{2} \le \frac{mv^2}{2} \le \frac{12}{2}$
$1 \le E \le 6$

Следовательно, кинетическая энергия тела находится в диапазоне от 1 Дж до 6 Дж включительно.
Ответ: $1 \le E \le 6$.

2) Для второго случая используем тот же подход, но со строгими неравенствами: $3 < m < 4$ и $6 < v < 8$.

Сначала возводим в квадрат неравенство для скорости $v$:
$6^2 < v^2 < 8^2$, что дает $36 < v^2 < 64$.

Далее, перемножаем неравенства для массы $m$ и квадрата скорости $v^2$:
$3 \cdot 36 < m \cdot v^2 < 4 \cdot 64$
$108 < mv^2 < 256$

В завершение, делим все части неравенства на 2, чтобы найти диапазон для кинетической энергии $E$:
$\frac{108}{2} < \frac{mv^2}{2} < \frac{256}{2}$
$54 < E < 128$

Таким образом, кинетическая энергия тела строго больше 54 Дж и строго меньше 128 Дж.
Ответ: $54 < E < 128$.

6. Слава должен приехать на первый урок в школу к 9 ч. На дорогу от дома до автобусной остановки он тратит от 10 до 11 мин, на поездку в автобусе (с учётом ожидания автобуса) — от 25 до 32 мин, а на дорогу от автобуса до школы — от 2 до 3 мин. Успеет ли Слава к началу занятий, если выйдет из дома:

1) в 8 ч 20 мин;

2) в 8 ч 10 мин?

Чтобы определить, успеет ли Слава к началу занятий, нам нужно рассчитать минимальное и максимальное время, которое он может потратить на дорогу. Занятия начинаются в 9 ч 00 мин.

1. Найдем минимальное общее время в пути. Для этого сложим минимальные значения для каждого отрезка пути:

$T_{мин} = 10 \text{ мин (до остановки)} + 25 \text{ мин (автобус)} + 2 \text{ мин (до школы)} = 37 \text{ мин}$.

2. Найдем максимальное общее время в пути. Для этого сложим максимальные значения для каждого отрезка пути:

$T_{макс} = 11 \text{ мин (до остановки)} + 32 \text{ мин (автобус)} + 3 \text{ мин (до школы)} = 46 \text{ мин}$.

Таким образом, вся дорога у Славы занимает от 37 до 46 минут. Чтобы быть уверенным, что Слава успеет, нужно ориентироваться на максимальное время в пути.

1) в 8 ч 20 мин;

Если Слава выйдет из дома в 8 ч 20 мин, то в лучшем случае он придет в школу через 37 минут, то есть в 8 ч 57 мин ($8\text{ ч }20\text{ мин} + 37\text{ мин}$). В этом случае он успеет.

Однако, в худшем случае дорога займет 46 минут. Рассчитаем время прибытия:

$8\text{ ч }20\text{ мин} + 46\text{ мин} = 8\text{ ч }66\text{ мин}$

Так как в одном часе 60 минут, то 66 мин = 1 ч 6 мин. Следовательно, время прибытия:

$8\text{ ч } + 1\text{ ч }6\text{ мин} = 9\text{ ч }06\text{ мин}$

Время прибытия 9 ч 06 мин позже, чем 9 ч 00 мин. Это означает, что существует вероятность опоздания. Поэтому мы не можем гарантировать, что он успеет.

Ответ: не успеет (может опоздать).

2) в 8 ч 10 мин?

Если Слава выйдет из дома в 8 ч 10 мин, проверим время прибытия для худшего случая (максимальное время в пути).

Рассчитаем время прибытия:

$8\text{ ч }10\text{ мин} + 46\text{ мин} = 8\text{ ч }56\text{ мин}$

Время прибытия 8 ч 56 мин раньше, чем 9 ч 00 мин. Так как даже в самом худшем случае Слава приходит в школу до начала занятий, он гарантированно успеет.

Ответ: успеет.

7. Показателем подготовленности к зиме сеголетков (рыб в возрасте до года) является так называемый коэффициент упитанности $k$, который находится по формуле $k = \frac{100m}{l^3}$, где $m$ (г) — масса, $l$ (см) — длина рыбы. Зимовку переносят лишь те сеголетки, у которых $k > 2,8$. Можно ли оставлять на зиму сеголеток карпа массой 25 г и длиной 9,5 см?

Чтобы определить, можно ли оставлять на зиму сеголетков карпа, необходимо рассчитать их коэффициент упитанности k. Согласно условию, зимовку переносят только те рыбы, у которых этот коэффициент больше 2,8, то есть выполняется неравенство $k > 2,8$.

Коэффициент упитанности вычисляется по формуле:
$k = \frac{100m}{l^3}$
где m — масса рыбы в граммах (г), а l — длина рыбы в сантиметрах (см).

По условию задачи, масса сеголетка карпа $m = 25$ г, а его длина $l = 9,5$ см. Подставим эти данные в формулу:
$k = \frac{100 \cdot 25}{(9,5)^3}$

Проведем вычисления:
1. Рассчитаем числитель: $100 \cdot 25 = 2500$.
2. Рассчитаем знаменатель: $(9,5)^3 = 9,5 \cdot 9,5 \cdot 9,5 = 90,25 \cdot 9,5 = 857,375$.
3. Найдем значение коэффициента k:
$k = \frac{2500}{857,375} \approx 2,916$

Теперь сравним полученное значение с требуемым для зимовки условием:
$2,916 > 2,8$

Неравенство выполняется, следовательно, коэффициент упитанности данного сеголетка карпа достаточен для того, чтобы перенести зиму.

Ответ: да, сеголетков карпа массой 25 г и длиной 9,5 см можно оставлять на зиму.

8. На экзамене по математике студенту предлагают решить 12 задач. За каждую решённую задачу начисляют 8 баллов, за каждую нерешённую снимают 2 балла. Для того чтобы получить положительную оценку, необходимо набрать не менее 56 баллов. Сколько задач нужно решить, чтобы получить положительную оценку?

$8x - 2(12-x) \geq 56$

Обозначим количество правильно решённых задач за $x$.

Поскольку всего на экзамене 12 задач, то количество нерешённых задач будет равно $(12 - x)$.

За каждую решённую задачу начисляют 8 баллов, а за каждую нерешённую снимают 2 балла. Общее количество баллов можно выразить следующей формулой: $8 \cdot x - 2 \cdot (12 - x)$

Для получения положительной оценки необходимо набрать не менее 56 баллов. Это условие можно записать в виде неравенства: $8x - 2(12 - x) \ge 56$

Теперь решим это неравенство:

1. Раскроем скобки: $8x - 24 + 2x \ge 56$

2. Приведём подобные слагаемые в левой части: $10x - 24 \ge 56$

3. Перенесём число -24 в правую часть с противоположным знаком: $10x \ge 56 + 24$ $10x \ge 80$

4. Разделим обе части неравенства на 10: $x \ge \frac{80}{10}$ $x \ge 8$

Результат $x \ge 8$ означает, что для получения положительной оценки необходимо решить 8 или более задач. Так как количество задач — целое число, минимальное количество задач, которое нужно решить, равно 8.

Проверим: если студент решит 8 задач, он получит $8 \cdot 8 = 64$ балла. За оставшиеся $12 - 8 = 4$ нерешённые задачи у него снимут $4 \cdot 2 = 8$ баллов. Итоговый балл составит $64 - 8 = 56$ баллов, что удовлетворяет условию "не менее 56".

Ответ: 8.

9. Центростремительное ускорение $a_ц$ $(\text{м/с}^2)$ тела, равномерно движущегося по окружности, находится по формуле $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $v$ $(\text{м/с})$ — линейная скорость движения тела, $R$ $(\text{м})$ — радиус обращения. Оценить величину центростремительного ускорения, если $0,5 \le R \le 1$, $2 \le v \le 6$.

Задача состоит в том, чтобы оценить диапазон возможных значений центростремительного ускорения $a_ц$, зная его формулу и диапазоны значений для линейной скорости $v$ и радиуса $R$.

Формула для центростремительного ускорения: $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Даны следующие условия:

$0,5 \le R \le 1$ (м)

$2 \le v \le 6$ (м/с)

Для того чтобы найти границы диапазона для $a_ц$, необходимо найти его минимальное и максимальное значения.

Анализируя формулу, мы видим, что $a_ц$ прямо пропорционально квадрату скорости ($v^2$) и обратно пропорционально радиусу ($R$).

Следовательно, минимальное значение $a_ц$ будет достигнуто, когда числитель ($v^2$) будет минимальным, а знаменатель ($R$) — максимальным.

$v_{мин} = 2$ м/с

$R_{макс} = 1$ м

$a_{ц, мин} = \frac{v_{мин}^2}{R_{макс}} = \frac{2^2}{1} = \frac{4}{1} = 4$ м/с$^2$.

Максимальное значение $a_ц$ будет достигнуто, когда числитель ($v^2$) будет максимальным, а знаменатель ($R$) — минимальным.

$v_{макс} = 6$ м/с

$R_{мин} = 0,5$ м

$a_{ц, макс} = \frac{v_{макс}^2}{R_{мин}} = \frac{6^2}{0,5} = \frac{36}{0,5} = 72$ м/с$^2$.

Таким образом, величина центростремительного ускорения находится в интервале от 4 м/с$^2$ до 72 м/с$^2$ включительно.

Ответ: $4 \le a_ц \le 72$.

10. Средняя скорость движения молекулы водорода при $0 \, \text{°C}$ равна $1693 \, \text{м/с}$. Один ученик округлил это число до $1690 \, \text{м/с}$, а другой — до $1700 \, \text{м/с}$. Найдите абсолютную погрешность каждого округления. В каком случае погрешность приближения меньше?

Найдите абсолютную погрешность каждого округления.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и его приближенным значением.

Точное значение скорости: $v = 1693$ м/с.

1. Первый ученик округлил значение до $v_1 = 1690$ м/с.
Абсолютная погрешность $\Delta_1$ для этого случая:
$\Delta_1 = |v - v_1| = |1693 - 1690| = |3| = 3$ м/с.

2. Второй ученик округлил значение до $v_2 = 1700$ м/с.
Абсолютная погрешность $\Delta_2$ для этого случая:
$\Delta_2 = |v - v_2| = |1693 - 1700| = |-7| = 7$ м/с.

Ответ: Абсолютная погрешность для округления до 1690 м/с равна 3 м/с, а для округления до 1700 м/с — 7 м/с.

В каком случае погрешность приближения меньше?

Чтобы определить, в каком случае погрешность меньше, нужно сравнить полученные абсолютные погрешности:
$\Delta_1 = 3$ м/с и $\Delta_2 = 7$ м/с.

Сравниваем числа: $3 < 7$.

Следовательно, погрешность приближения меньше в первом случае, когда ученик округлил скорость до 1690 м/с.

Ответ: Погрешность меньше в случае округления до 1690 м/с.