Номер 6, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 16. Погрешность приближения. Глава 2. Неравенства - номер 6, страница 104.

Условие.

6. Решить неравенство:

1) $|x+5|>4$;

2) $|x-10|\ge3$;

3) $|x-1|\le7$;

4) $|x+3|<2$.

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное неравенство: $|x+5| > 4$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Применительно к нашему случаю, получаем совокупность:

$x+5 > 4$ или $x+5 < -4$.

Решим первое неравенство:

$x+5 > 4$

$x > 4-5$

$x > -1$

Решим второе неравенство:

$x+5 < -4$

$x < -4-5$

$x < -9$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $|x-10| \ge 3$.

Данное неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$x-10 \ge 3$ или $x-10 \le -3$.

Решаем каждое неравенство отдельно.

Из первого неравенства: $x \ge 3+10$, то есть $x \ge 13$.

Из второго неравенства: $x \le -3+10$, то есть $x \le 7$.

Решением является объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 7] \cup [13; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $|x-1| \le 7$.

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно системе неравенств, которую можно записать в виде двойного неравенства: $-a \le f(x) \le a$.

В нашем случае получаем:

$-7 \le x-1 \le 7$.

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем трём частям двойного неравенства:

$-7+1 \le x-1+1 \le 7+1$

$-6 \le x \le 8$.

Это и есть решение неравенства в виде числового отрезка.

Ответ: $x \in [-6; 8]$.

4) Исходное неравенство: $|x+3| < 2$.

Данное неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству: $-a < f(x) < a$.

Запишем соответствующее двойное неравенство:

$-2 < x+3 < 2$.

Чтобы найти $x$, вычтем 3 из всех трёх частей двойного неравенства:

$-2-3 < x+3-3 < 2-3$

$-5 < x < -1$.

Решением является интервал.

Ответ: $x \in (-5; -1)$.