Страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Рис. 37

4. По графику функции $y=f(x)$ (рис. 37) найти:

1) значения $x$, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;

2) координаты точек, симметричных точкам A, B и C относительно оси ординат; относительно начала координат.

1) значения x, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;

Для решения этой задачи необходимо проанализировать график функции $y = f(x)$.

Положительные значения:
Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (оси Ox). Из графика видно, что это условие выполняется на двух интервалах: от -3 до 0 и от 0 до 4. В точке $x=0$ график касается оси, то есть $f(0)=0$, поэтому эта точка не включается в промежутки, где функция строго положительна.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-3; 0) \cup (0; 4)$.

Отрицательные значения:
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси абсцисс (оси Ox). Из графика видно, что это происходит при значениях x, которые меньше -3, а также при значениях x, которые больше 4.

Ответ: функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

2) координаты точек, симметричных точкам A, B и C относительно оси ординат; относительно начала координат.

Сначала определим координаты точек A, B и C по графику:
Точка A имеет координаты $(-2; 2)$.
Точка B имеет координаты $(1; 1)$.
Точка C имеет координаты $(4; 0)$.

Симметрия относительно оси ординат (оси Oy):
При симметрии относительно оси ординат у любой точки $(x; y)$ изменяется знак абсциссы, а ордината остается той же. Таким образом, симметричная точка будет иметь координаты $(-x; y)$.
Для точки A$(-2; 2)$ симметричная точка $A_1$ имеет координаты $(-(-2); 2) = (2; 2)$.
Для точки B$(1; 1)$ симметричная точка $B_1$ имеет координаты $(-1; 1)$.
Для точки C$(4; 0)$ симметричная точка $C_1$ имеет координаты $(-4; 0)$.

Ответ: Координаты симметричных точек: $A_1(2; 2)$, $B_1(-1; 1)$, $C_1(-4; 0)$.

Симметрия относительно начала координат:
При симметрии относительно начала координат у любой точки $(x; y)$ изменяются знаки обеих координат. Таким образом, симметричная точка будет иметь координаты $(-x; -y)$.
Для точки A$(-2; 2)$ симметричная точка $A_2$ имеет координаты $(-(-2); -2) = (2; -2)$.
Для точки B$(1; 1)$ симметричная точка $B_2$ имеет координаты $(-1; -1)$.
Для точки C$(4; 0)$ симметричная точка $C_2$ имеет координаты $(-4; -0) = (-4; 0)$.

Ответ: Координаты симметричных точек: $A_2(2; -2)$, $B_2(-1; -1)$, $C_2(-4; 0)$.

5. Сравнить:

1) абсциссы точек $A_1$ и $A_2$; $A_3$ и $A_4$; $A_5$ и $A_6$ (рис. 38);

2) ординаты точек $A_1$ и $A_2$; $A_3$ и $A_4$; $A_5$ и $A_6$ (рис. 38).

$A_1(x_1; y_1)$

$A_2(x_2; y_2)$

$A_3(x_3; y_3)$

$A_4(x_4; y_4)$

$A_5(x_5; y_5)$

$A_6(x_6; y_6)$

$y$

$x$

0

1

Рис. 38

1) абсциссы точек А₁ и А₂; А₃ и А₄; А₅ и А₆ (рис. 38)

Абсцисса точки (координата $x$) определяет её положение по горизонтальной оси. Чем правее расположена точка, тем больше её абсцисса. Для сравнения абсцисс точек, определим их значения по графику, считая, что одна клетка соответствует 1 единице.

• Абсцисса точки $A_1(x_1; y_1)$: $x_1 = -3$
• Абсцисса точки $A_2(x_2; y_2)$: $x_2 = -2$
• Абсцисса точки $A_3(x_3; y_3)$: $x_3 = -1$
• Абсцисса точки $A_4(x_4; y_4)$: $x_4 = 1$
• Абсцисса точки $A_5(x_5; y_5)$: $x_5 = 3$
• Абсцисса точки $A_6(x_6; y_6)$: $x_6 = 4$

Теперь выполним сравнение для заданных пар:

• Для точек $A_1$ и $A_2$: $x_1 = -3$, $x_2 = -2$. Так как $-3 < -2$, то $x_1 < x_2$.
• Для точек $A_3$ и $A_4$: $x_3 = -1$, $x_4 = 1$. Так как $-1 < 1$, то $x_3 < x_4$.
• Для точек $A_5$ и $A_6$: $x_5 = 3$, $x_6 = 4$. Так как $3 < 4$, то $x_5 < x_6$.

В общем виде, расположив все абсциссы в порядке возрастания, получаем: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$.

Ответ: $x_1 < x_2$; $x_3 < x_4$; $x_5 < x_6$.

2) ординаты точек А₁ и А₂; А₃ и А₄; А₅ и А₆ (рис. 38)

Ордината точки (координата $y$) определяет её положение по вертикальной оси. Чем выше расположена точка, тем больше её ордината. Определим значения ординат по графику:

• Ордината точки $A_1(x_1; y_1)$: $y_1 = 1$
• Ордината точки $A_2(x_2; y_2)$: $y_2 = -2$
• Ордината точки $A_3(x_3; y_3)$: $y_3 = -0.5$
• Ордината точки $A_4(x_4; y_4)$: $y_4 = 1.5$
• Ордината точки $A_5(x_5; y_5)$: $y_5 = 1.5$
• Ордината точки $A_6(x_6; y_6)$: $y_6 = -2$

Теперь выполним сравнение для заданных пар:

• Для точек $A_1$ и $A_2$: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$. Так как $1 > -2$, то $y_1 > y_2$.
• Для точек $A_3$ и $A_4$: $y_3 = -0.5$, $y_4 = 1.5$. Так как $-0.5 < 1.5$, то $y_3 < y_4$.
• Для точек $A_5$ и $A_6$: $y_5 = 1.5$, $y_6 = -2$. Так как $1.5 > -2$, то $y_5 > y_6$.

Следует отметить, что некоторые точки имеют одинаковые ординаты: точки $A_2$ и $A_6$ ($y_2=y_6=-2$), а также точки $A_4$ и $A_5$ ($y_4=y_5=1.5$). В общем виде, расположив все ординаты в порядке возрастания, получаем: $y_2 = y_6 < y_3 < y_1 < y_4 = y_5$.

Ответ: $y_1 > y_2$; $y_3 < y_4$; $y_5 > y_6$.

342. На миллиметровой бумаге построить график функции $y=x^2$ на промежутке $[-3; 3]$. По графику приближённо найти:

1) значение $y$ при $x=0,8; x=1,9; x=-2,3; x=-1,5;$

2) значения $x$, если $y=2; y=3; y=4,5; y=6,5.$

Для решения задачи сначала необходимо построить график функции $y = x^2$ на промежутке $[-3; 3]$. График этой функции — парабола, симметричная относительно оси ординат, с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для точного построения на миллиметровой бумаге составим таблицу ключевых точек:

$x = 0, y = 0$
$x = \pm 0,5, y = 0,25$
$x = \pm 1, y = 1$
$x = \pm 1,5, y = 2,25$
$x = \pm 2, y = 4$
$x = \pm 2,5, y = 6,25$
$x = \pm 3, y = 9$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы. Далее, используя этот график, находим приближенные значения.

1) Находим значения $y$ по заданным значениям $x$. Для этого находим на оси $Ox$ (оси абсцисс) указанное значение, проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтальную линию до оси $Oy$ (оси ординат).

- При $x=0,8$: по графику находим, что соответствующее значение $y$ составляет примерно $0,6$. (Точный расчет: $y = 0,8^2 = 0,64$).

- При $x=1,9$: по графику находим $y \approx 3,6$. (Точный расчет: $y = 1,9^2 = 3,61$).

- При $x=-2,3$: по графику находим $y \approx 5,3$. (Точный расчет: $y = (-2,3)^2 = 5,29$).

- При $x=-1,5$: по графику находим $y \approx 2,3$. (Точный расчет: $y = (-1,5)^2 = 2,25$).

Ответ: при $x=0,8, y \approx 0,6$; при $x=1,9, y \approx 3,6$; при $x=-2,3, y \approx 5,3$; при $x=-1,5, y \approx 2,3$.

2) Находим значения $x$ по заданным значениям $y$. Для этого находим на оси $Oy$ указанное значение, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из точек пересечения (для $y>0$ их будет две) опускаем перпендикуляры на ось $Ox$.

- Если $y=2$: горизонтальная линия $y=2$ пересекает параболу в точках, абсциссы которых примерно равны $1,4$ и $-1,4$. Таким образом, $x \approx \pm 1,4$. (Точный расчет: $x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1,41$).

- Если $y=3$: аналогично находим $x \approx \pm 1,7$. (Точный расчет: $x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1,73$).

- Если $y=4,5$: находим $x \approx \pm 2,1$. (Точный расчет: $x = \pm\sqrt{4,5} \approx \pm 2,12$).

- Если $y=6,5$: находим $x \approx \pm 2,5$. (Точный расчет: $x = \pm\sqrt{6,5} \approx \pm 2,55$).

Ответ: если $y=2$, то $x \approx \pm 1,4$; если $y=3$, то $x \approx \pm 1,7$; если $y=4,5$, то $x \approx \pm 2,1$; если $y=6,5$, то $x \approx \pm 2,5$.

343. Не строя графика функции $y = x^2$, определить, какие точки принадлежат ему: A(2; 6), B(-1; 1), C(12; 144), D(-3; -9).

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = x^2$, необходимо подставить координаты $(x; y)$ каждой точки в уравнение функции. Если при подстановке абсциссы ($x$) вычисленное значение функции совпадает с ординатой ($y$) точки, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

A(2; 6)

Подставим абсциссу точки $x=2$ в уравнение функции:

$y = 2^2 = 4$

Вычисленное значение $y=4$ не совпадает с ординатой точки $A$, которая равна 6. Поскольку $4 \neq 6$, точка $A$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

B(-1; 1)

Подставим абсциссу точки $x=-1$ в уравнение функции:

$y = (-1)^2 = 1$

Вычисленное значение $y=1$ совпадает с ординатой точки $B$, которая также равна 1. Поскольку $1 = 1$, точка $B$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

C(12; 144)

Подставим абсциссу точки $x=12$ в уравнение функции:

$y = 12^2 = 144$

Вычисленное значение $y=144$ совпадает с ординатой точки $C$, которая также равна 144. Поскольку $144 = 144$, точка $C$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

D(-3; -9)

Подставим абсциссу точки $x=-3$ в уравнение функции:

$y = (-3)^2 = 9$

Вычисленное значение $y=9$ не совпадает с ординатой точки $D$, которая равна -9. Поскольку $9 \neq -9$, точка $D$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.