Номер 9, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 9, страница 129.

Условие.

9. Перечислить свойства функции $y=x^3$.

Решение 4.

1. Область определения
Функция $y = x^3$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений аргумента $x$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, или $x \in \mathbb{R}$.

2. Область значений
Функция является непрерывной и неограниченной как снизу, так и сверху ($\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ и $\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$). Следовательно, она принимает все действительные значения.
Ответ: область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, или $y \in \mathbb{R}$.

3. Четность и нечетность
Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^3 = -x^3$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$.
Ответ: функция нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат
Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x=0$: $y = 0^3 = 0$.
Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (нулей функции), приравняем $y$ к нулю: $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.
Ответ: график пересекает оси координат в одной точке — начале координат $(0; 0)$.

5. Промежутки знакопостоянства
Найдем, на каких промежутках функция положительна или отрицательна.
$y > 0$ при $x^3 > 0$, что выполняется при $x > 0$.
$y < 0$ при $x^3 < 0$, что выполняется при $x < 0$.
Ответ: функция положительна ($y>0$) на интервале $(0; +\infty)$ и отрицательна ($y<0$) на интервале $(-\infty; 0)$.

6. Промежутки возрастания и убывания (монотонность)
Найдем первую производную функции: $y' = (x^3)' = 3x^2$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то и производная $y' = 3x^2 \ge 0$ для любого $x$. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция строго возрастает на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Точки экстремума (максимума и минимума)
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. $y' = 3x^2 = 0$ при $x=0$.
Так как производная не меняет свой знак при переходе через точку $x=0$ (она неотрицательна и слева, и справа), точка $x=0$ не является точкой экстремума.
Ответ: у функции нет точек экстремума.

8. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
Найдем вторую производную функции: $y'' = (3x^2)' = 6x$.
При $x < 0$, вторая производная $y'' < 0$, следовательно, на этом промежутке график функции выпуклый вверх.
При $x > 0$, вторая производная $y'' > 0$, следовательно, на этом промежутке график функции вогнутый (или выпуклый вниз).
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, поэтому точка $(0; y(0)) = (0; 0)$ является точкой перегиба.
Ответ: график функции выпуклый вверх на $(-\infty; 0)$, вогнутый на $(0; +\infty)$; точка перегиба — $(0; 0)$.

9. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
Горизонтальных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} x^3 = \pm\infty$.
Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ нет, так как $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x^2 = +\infty$, а предел должен быть конечным числом.
Ответ: асимптот нет.