Номер 7, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 7, страница 129.

Условие.

7. Что такое фокус параболы?

Решение 4.

Фокус параболы — это одна из ключевых точек, определяющих форму и свойства этой кривой. Понимание фокуса позволяет описать параболу как с геометрической, так и с физической точки зрения.

Геометрическое определение

Парабола представляет собой геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой (называемой директрисой).

Пусть есть точка F — фокус, и прямая d — директриса. Тогда любая точка M, принадлежащая параболе, удовлетворяет условию:

$|MF| = \rho(M, d)$

где $|MF|$ — это расстояние от точки M до фокуса F, а $\rho(M, d)$ — это расстояние от точки M до директрисы d (длина перпендикуляра, опущенного из M на d). Прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе, является осью симметрии параболы. Вершина параболы лежит на этой оси ровно посередине между фокусом и директрисой.

Ответ: Фокус — это особая точка, относительно которой (и соответствующей ей прямой-директрисы) строится парабола как множество равноудаленных точек.

Оптическое (физическое) свойство

Наиболее известное свойство фокуса связано с отражением лучей. Если параболу представить в виде зеркальной поверхности (параболическое зеркало), то:

• Все лучи, параллельные оси симметрии параболы, после отражения от неё соберутся в одной точке — в фокусе. Это свойство используется в спутниковых антеннах ("тарелках"), где фокус — это место установки приёмника сигнала.
• Если в фокусе параболы поместить источник света, то все лучи, отразившись от параболы, образуют пучок, параллельный её оси симметрии. Это свойство применяется в автомобильных фарах, прожекторах и телескопах-рефлекторах для создания мощного направленного луча света.

Ответ: Фокус — это точка, в которой собираются отраженные от параболы лучи, идущие параллельно её оси, или точка, из которой исходят лучи, становящиеся параллельными после отражения.

Координаты фокуса

Положение фокуса можно определить математически через уравнение параболы.

1. Для канонического уравнения параболы $y^2 = 2px$, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вправо, фокус имеет координаты $F(p/2, 0)$. Величина $p$ называется фокальным параметром.

2. Для параболы, заданной в школьном курсе уравнением $y = ax^2 + bx + c$, с вертикальной осью симметрии:

Сначала находятся координаты вершины $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

$y_v = a(x_v)^2 + bx_v + c = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$

Фокус $F$ лежит на оси симметрии параболы (прямая $x = x_v$), поэтому его координата $x_F$ совпадает с $x_v$. Координата $y_F$ находится смещением от вершины на расстояние $\frac{1}{4a}$ вдоль оси симметрии. Если ветви параболы направлены вверх ($a>0$), то фокус находится выше вершины; если вниз ($a<0$) — ниже.

Координаты фокуса $F(x_F, y_F)$ равны:

$x_F = -\frac{b}{2a}$

$y_F = y_v + \frac{1}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} + \frac{1}{4a} = \frac{1 - (b^2 - 4ac)}{4a}$

Ответ: Для параболы $y = ax^2 + bx + c$ фокус имеет координаты $F(-\frac{b}{2a}, y_v + \frac{1}{4a})$, где $y_v$ — ордината вершины.