Номер 346, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 346, страница 131.

Условие.

346. Найти координаты точек пересечения параболы $y=x^2$ и прямой:

1) $y=25$;

2) $y=-x$;

3) $y=2x$.

Решение 4.

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы и прямой, необходимо решить систему уравнений, состоящую из их уравнений. В точках пересечения координаты $(x; y)$ удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы можем приравнять выражения для $y$.

1) y=25

Имеем систему уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 25 \end{cases} $
Приравниваем правые части уравнений: $x^2 = 25$
Находим корни уравнения, извлекая квадратный корень: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$
Из второго уравнения системы ($y=25$) следует, что ордината (координата $y$) для обеих точек пересечения равна 25.
Таким образом, получаем две точки пересечения с координатами $(5; 25)$ и $(-5; 25)$.

Ответ: $(-5; 25)$, $(5; 25)$.

2) y=-x

Имеем систему уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = -x \end{cases} $
Приравниваем правые части уравнений: $x^2 = -x$
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + x = 0$
Выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(x+1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Находим корни: $x_1 = 0$ или $x+1=0 \implies x_2 = -1$.
Теперь находим соответствующие значения $y$, подставляя найденные значения $x$ в уравнение прямой $y=-x$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = -(0) = 0$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1) = 1$.
Таким образом, получаем две точки пересечения с координатами $(0; 0)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(-1; 1)$.

3) y=2x

Имеем систему уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x \end{cases} $
Приравниваем правые части уравнений: $x^2 = 2x$
Переносим все члены в одну сторону: $x^2 - 2x = 0$
Выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(x-2) = 0$
Находим корни уравнения: $x_1 = 0$ или $x-2=0 \implies x_2 = 2$.
Теперь находим соответствующие значения $y$, подставляя найденные значения $x$ в уравнение прямой $y=2x$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$.
Таким образом, получаем две точки пересечения с координатами $(0; 0)$ и $(2; 4)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(2; 4)$.