Номер 348, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 348, страница 131.

Условие.

348. На одной координатной плоскости построить параболу $y(x) = x^2$ и прямую $y=3$. При каких значениях $x$ точки параболы лежат выше прямой? ниже прямой?

Решение 4.

Для решения задачи сначала построим графики параболы $y = x^2$ и прямой $y = 3$ на одной координатной плоскости.

1. Построение параболы $y = x^2$
Это стандартная парабола, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Для точности построения найдем несколько точек, принадлежащих параболе:

• при $x=0$, $y=0^2=0$ -> точка (0, 0)
• при $x=1$, $y=1^2=1$ -> точка (1, 1)
• при $x=-1$, $y=(-1)^2=1$ -> точка (-1, 1)
• при $x=2$, $y=2^2=4$ -> точка (2, 4)
• при $x=-2$, $y=(-2)^2=4$ -> точка (-2, 4)

2. Построение прямой $y = 3$
Это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox, которая проходит через точку (0, 3) на оси Oy. Все точки на этой прямой имеют ординату (координату y), равную 3.

3. Найдем точки пересечения
Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем их уравнения: $x^2 = 3$ Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(-\sqrt{3}, 3)$ и $(\sqrt{3}, 3)$. (Заметим, что $\sqrt{3} \approx 1.73$).

Графики функций выглядят следующим образом:

При каких значениях x точки параболы лежат выше прямой?

Точки параболы лежат выше прямой, когда ордината (значение $y$) параболы больше ординаты прямой. Это условие можно записать в виде неравенства: $x^2 > 3$

Чтобы решить это неравенство, рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 3 = 0$, корни которого мы уже нашли: $x = \pm\sqrt{3}$. Графиком функции $y = x^2-3$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$. Значения функции положительны ($>0$) вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство $x^2 > 3$ выполняется при $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.

В виде интервалов: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; \infty)$.

Ответ: Точки параболы лежат выше прямой при $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; \infty)$.

При каких значениях x точки параболы лежат ниже прямой?

Точки параболы лежат ниже прямой, когда ордината параболы меньше ординаты прямой. Это соответствует неравенству: $x^2 < 3$

Это неравенство, аналогично предыдущему, выполняется для значений $x$, находящихся между корнями уравнения $x^2 - 3 = 0$.

Следовательно, решение неравенства: $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

В виде интервала: $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

Ответ: Точки параболы лежат ниже прямой при $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.