Номер 355, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 355, страница 131.

Условие.

355. Пользуясь графиками, построенными в упражнении 354(4), решить неравенства:

1) $x^3 > -3x + 4$;

2) $x^3 \le -3x + 4$.

Решение 4.

Для решения данных неравенств графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -3x + 4$ и сравнить их расположение.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Она проходит через начало координат, симметрична относительно него и возрастает на всей области определения.

График функции $y = -3x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем координаты двух точек:

• Если $x=0$, то $y = -3 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Если $x=1$, то $y = -3 \cdot 1 + 4 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Ключевым для решения неравенств является нахождение точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения $x^3 = -3x + 4$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^3 + 3x - 4 = 0$

Можно заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения, так как $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Чтобы найти другие возможные корни, разделим многочлен $(x^3 + 3x - 4)$ на двучлен $(x-1)$. В результате деления получаем:

$(x-1)(x^2 + x + 4) = 0$

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + x + 4 = 0$. Найдем его дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение $x^2 + x + 4 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций $y=x^3$ и $y=-3x+4$ пересекаются только в одной точке, абсцисса которой равна $x=1$.

1) $x^3 > -3x + 4$

Решением этого неравенства являются все значения $x$, при которых график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=-3x+4$. Глядя на взаимное расположение графиков, мы видим, что кубическая парабола находится выше прямой справа от точки их пересечения.

Так как точка пересечения имеет абсциссу $x=1$, то неравенство выполняется при всех $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) $x^3 \leq -3x + 4$

Решением этого неравенства являются все значения $x$, при которых график функции $y=x^3$ расположен ниже или на том же уровне, что и график функции $y=-3x+4$. Это происходит для всех значений $x$ слева от точки пересечения, включая саму точку пересечения.

Поскольку абсцисса точки пересечения $x=1$, неравенство выполняется при всех $x \leq 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.