Номер 5, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 5, страница 138.

Условие.

5. Как называются части графика функции $y = \frac{k}{x}$, симметричные относительно начала координат?

Решение 4.

График функции $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$) называется гиперболой. Эта кривая состоит из двух отдельных частей, которые называются ветвями гиперболы.

Симметричность этих ветвей относительно начала координат является фундаментальным свойством графика обратной пропорциональности. Это свойство следует из того, что данная функция является нечётной. Проверим это:

Для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, выполняется равенство $y_0 = \frac{k}{x_0}$.

Рассмотрим точку $(-x_0, -y_0)$, симметричную ей относительно начала координат. Подставим её абсциссу $-x_0$ в уравнение функции:

$y = \frac{k}{-x_0} = - \frac{k}{x_0}$

Поскольку $y_0 = \frac{k}{x_0}$, мы получаем $y = -y_0$. Это означает, что точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит графику функции.

Таким образом, две части графика (ветви) симметричны друг другу относительно начала координат.

Ответ: Ветви гиперболы.