Номер 8, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 8, страница 138.

Условие.

8. Объяснить, почему график функции $y = \frac{1}{x}$ симметричен относительно начала координат.

Решение 4.

График функции является симметричным относительно начала координат (точки $(0, 0)$), если сама функция является нечетной. Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже ей принадлежит).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Область определения. Функция $y = \frac{1}{x}$ определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Ее область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, так как если некоторое число $x_0 \neq 0$ принадлежит ей, то и противоположное ему число $-x_0 \neq 0$ также принадлежит этой области. Таким образом, первое условие выполнено.

2. Проверка равенства $f(-x) = -f(x)$.
Обозначим нашу функцию как $f(x) = \frac{1}{x}$.
Найдем значение функции в точке $-x$, подставив $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$.
Теперь найдем выражение для $-f(x)$:
$-f(x) = - \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x}$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Второе условие также выполняется для всех $x$ из области определения.

Поскольку оба условия нечетной функции выполняются, функция $y = \frac{1}{x}$ является нечетной. По определению, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Это означает, что если точка с координатами $(a; b)$ лежит на графике, то и точка с координатами $(-a; -b)$ также будет лежать на этом графике.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ симметричен относительно начала координат, потому что эта функция является нечетной. Ее область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля, и для любого $x$ из этой области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.