Номер 5, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 5, страница 139.

Условие.

5. При каких значениях $x$ функция $y=x^3$ принимает отрицательные значения; значения из промежутка $(0; 8]$?

Решение 1.

Решение 4.

отрицательные значения:

Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = x^3$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Подставляем в неравенство выражение для функции:
$x^3 < 0$

Функция возведения в куб сохраняет знак аргумента. Это означает, что куб числа будет отрицательным тогда и только тогда, когда само число отрицательно.
Следовательно, решением неравенства $x^3 < 0$ является $x < 0$.

Запишем это решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

значения из промежутка (0; 8]:

Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = x^3$ принимает значения из промежутка $(0; 8]$, необходимо решить двойное неравенство $0 < y \le 8$.

Подставляем в неравенство выражение для функции:
$0 < x^3 \le 8$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы из двух неравенств:
1) $x^3 > 0$
2) $x^3 \le 8$

Решаем первое неравенство: $x^3 > 0$. Как и в предыдущем пункте, куб числа положителен тогда и только тогда, когда само число положительно. Отсюда следует, что $x > 0$.

Решаем второе неравенство: $x^3 \le 8$. Для нахождения $x$ извлечем кубический корень из обеих частей неравенства. Функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ является строго возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$\sqrt[3]{x^3} \le \sqrt[3]{8}$
$x \le 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 0$ и $x \le 2$. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше 0 и не больше 2.

Объединив эти условия, получаем двойное неравенство для $x$: $0 < x \le 2$.

Запишем это решение в виде интервала: $x \in (0; 2]$.

Ответ: $x \in (0; 2]$.