Номер 362, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 3. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 362, страница 141.

Условие.

362. Возвести в степень:

1) $(3a^{-5})^2$;

2) $(4b^3)^{-2}$;

3) $(a^{-6}b)^{-4}$;

4) $(a^5b^{-3})^4$;

5) $\left(\frac{x^3}{y^5}\right)^{-3}$;

6) $\left(\frac{m^{-2}}{n^{-7}}\right)^{-5}$;

7) $\left(\frac{3x^6}{5y^{-3}}\right)^2$;

8) $\left(\frac{3x^{-7}}{4y^9}\right)^3$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Чтобы возвести произведение $(3a^{-5})$ в степень 2, нужно каждый множитель возвести в эту степень, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Затем для степенного выражения применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3a^{-5})^2 = 3^2 \cdot (a^{-5})^2 = 9 \cdot a^{-5 \cdot 2} = 9a^{-10}$.
Далее, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем результат:
$9a^{-10} = \frac{9}{a^{10}}$.
Ответ: $\frac{9}{a^{10}}$

2) Для выражения $(4b^3)^{-2}$ применим те же свойства, что и в первом примере.
$(4b^3)^{-2} = 4^{-2} \cdot (b^3)^{-2}$.
Вычисляем каждый множитель отдельно: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$ и $(b^3)^{-2} = b^{3 \cdot (-2)} = b^{-6}$.
$b^{-6} = \frac{1}{b^6}$.
Собираем все вместе: $4^{-2} \cdot b^{-6} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{b^6} = \frac{1}{16b^6}$.
Ответ: $\frac{1}{16b^6}$

3) Возводим в степень $-4$ произведение $(a^{-6}b)$.
$(a^{-6}b)^{-4} = (a^{-6})^{-4} \cdot b^{-4}$.
Применяем правило возведения степени в степень: $(a^{-6})^{-4} = a^{-6 \cdot (-4)} = a^{24}$.
Получаем: $a^{24} \cdot b^{-4}$.
Избавляемся от отрицательной степени: $a^{24} \cdot \frac{1}{b^4} = \frac{a^{24}}{b^4}$.
Ответ: $\frac{a^{24}}{b^4}$

4) Возводим в степень 4 произведение $(a^5b^{-3})$.
$(a^5b^{-3})^4 = (a^5)^4 \cdot (b^{-3})^4$.
Вычисляем степени: $(a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20}$ и $(b^{-3})^4 = b^{-3 \cdot 4} = b^{-12}$.
Получаем: $a^{20}b^{-12}$.
Переписываем в виде дроби: $a^{20} \cdot \frac{1}{b^{12}} = \frac{a^{20}}{b^{12}}$.
Ответ: $\frac{a^{20}}{b^{12}}$

5) Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, можно перевернуть дробь и поменять знак степени на противоположный: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{x^3}{y^5})^{-3} = (\frac{y^5}{x^3})^3$.
Теперь возводим в степень числитель и знаменатель по правилу $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\frac{(y^5)^3}{(x^3)^3} = \frac{y^{5 \cdot 3}}{x^{3 \cdot 3}} = \frac{y^{15}}{x^9}$.
Ответ: $\frac{y^{15}}{x^9}$

6) Для возведения дроби $(\frac{m^{-2}}{n^{-7}})$ в степень $-5$ используем правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{m^{-2}}{n^{-7}})^{-5} = \frac{(m^{-2})^{-5}}{(n^{-7})^{-5}}$.
Возводим в степень числитель и знаменатель:
$(m^{-2})^{-5} = m^{-2 \cdot (-5)} = m^{10}$.
$(n^{-7})^{-5} = n^{-7 \cdot (-5)} = n^{35}$.
Результат: $\frac{m^{10}}{n^{35}}$.
Ответ: $\frac{m^{10}}{n^{35}}$

7) Возводим дробь $(\frac{3x^6}{5y^{-3}})$ в степень 2.
$(\frac{3x^6}{5y^{-3}})^2 = \frac{(3x^6)^2}{(5y^{-3})^2}$.
Возводим в степень числитель: $(3x^6)^2 = 3^2 \cdot (x^6)^2 = 9x^{12}$.
Возводим в степень знаменатель: $(5y^{-3})^2 = 5^2 \cdot (y^{-3})^2 = 25y^{-6}$.
Получаем дробь: $\frac{9x^{12}}{25y^{-6}}$.
Избавляемся от отрицательной степени в знаменателе, перемещая множитель в числитель с положительной степенью: $\frac{9x^{12}y^6}{25}$.
Ответ: $\frac{9x^{12}y^6}{25}$

8) Возводим дробь $(\frac{3x^{-7}}{4y^9})$ в степень 3.
$(\frac{3x^{-7}}{4y^9})^3 = \frac{(3x^{-7})^3}{(4y^9)^3}$.
Возводим в степень числитель: $(3x^{-7})^3 = 3^3 \cdot (x^{-7})^3 = 27x^{-21}$.
Возводим в степень знаменатель: $(4y^9)^3 = 4^3 \cdot (y^9)^3 = 64y^{27}$.
Получаем дробь: $\frac{27x^{-21}}{64y^{27}}$.
Избавляемся от отрицательной степени в числителе, перемещая множитель в знаменатель с положительной степенью: $\frac{27}{64y^{27}x^{21}}$.
Запишем в алфавитном порядке переменных: $\frac{27}{64x^{21}y^{27}}$.
Ответ: $\frac{27}{64x^{21}y^{27}}$