Номер 364, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 3. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 364, страница 142.

Условие.

Записать в стандартном виде (364–365).

364. 1) $200\,000^4$; 2) $0,0003^3$; 3) $4000^{-2}$; 4) $0,002^{-3}$.

Решение 1.

Решение 4.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

1) Записать в стандартном виде $200 000^4$.

Сначала представим число $200 000$ в стандартном виде:

$200 000 = 2 \times 100 000 = 2 \times 10^5$.

Теперь возведем это выражение в четвертую степень, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2 \times 10^5)^4 = 2^4 \times (10^5)^4 = 16 \times 10^{5 \times 4} = 16 \times 10^{20}$.

Полученное число $16 \times 10^{20}$ необходимо привести к стандартному виду, так как $16 \ge 10$. Для этого представим $16$ в стандартном виде:

$16 = 1.6 \times 10^1$.

Подставим это значение в выражение:

$(1.6 \times 10^1) \times 10^{20} = 1.6 \times 10^{1+20} = 1.6 \times 10^{21}$.

Ответ: $1.6 \times 10^{21}$.

2) Записать в стандартном виде $0.0003^3$.

Представим число $0.0003$ в стандартном виде:

$0.0003 = 3 \times 0.0001 = 3 \times 10^{-4}$.

Возведем в третью степень:

$(3 \times 10^{-4})^3 = 3^3 \times (10^{-4})^3 = 27 \times 10^{-4 \times 3} = 27 \times 10^{-12}$.

Приведем результат к стандартному виду, так как $27 \ge 10$. Представим $27$ в стандартном виде:

$27 = 2.7 \times 10^1$.

Подставим это значение в выражение:

$(2.7 \times 10^1) \times 10^{-12} = 2.7 \times 10^{1+(-12)} = 2.7 \times 10^{-11}$.

Ответ: $2.7 \times 10^{-11}$.

3) Записать в стандартном виде $4000^{-2}$.

Представим число $4000$ в стандартном виде:

$4000 = 4 \times 1000 = 4 \times 10^3$.

Возведем в степень $-2$:

$(4 \times 10^3)^{-2} = 4^{-2} \times (10^3)^{-2} = \frac{1}{4^2} \times 10^{3 \times (-2)} = \frac{1}{16} \times 10^{-6}$.

Переведем дробь $\frac{1}{16}$ в десятичную: $\frac{1}{16} = 0.0625$.

Получаем выражение: $0.0625 \times 10^{-6}$.

Приведем результат к стандартному виду, так как $0.0625 < 1$. Представим $0.0625$ в стандартном виде:

$0.0625 = 6.25 \times 10^{-2}$.

Подставим это значение в выражение:

$(6.25 \times 10^{-2}) \times 10^{-6} = 6.25 \times 10^{-2+(-6)} = 6.25 \times 10^{-8}$.

Ответ: $6.25 \times 10^{-8}$.

4) Записать в стандартном виде $0.002^{-3}$.

Представим число $0.002$ в стандартном виде:

$0.002 = 2 \times 0.001 = 2 \times 10^{-3}$.

Возведем в степень $-3$:

$(2 \times 10^{-3})^{-3} = 2^{-3} \times (10^{-3})^{-3} = \frac{1}{2^3} \times 10^{-3 \times (-3)} = \frac{1}{8} \times 10^9$.

Переведем дробь $\frac{1}{8}$ в десятичную: $\frac{1}{8} = 0.125$.

Получаем выражение: $0.125 \times 10^9$.

Приведем результат к стандартному виду, так как $0.125 < 1$. Представим $0.125$ в стандартном виде:

$0.125 = 1.25 \times 10^{-1}$.

Подставим это значение в выражение:

$(1.25 \times 10^{-1}) \times 10^9 = 1.25 \times 10^{-1+9} = 1.25 \times 10^8$.

Ответ: $1.25 \times 10^8$.