Номер 360, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 360, страница 140.

Условие.

360. Решить графически уравнение:

1) $\frac{1}{x} = x + 2;$

2) $2x - 1 = \frac{1}{x};$

3) $-x + 2 = -\frac{1}{x};$

4) $-\frac{1}{x} = 1 - x;$

5) $\frac{2}{x} = x^2;$

6) $x^3 = \frac{2}{x}.$

Решение 1.

Решение 4.

1) $\frac{1}{x}=x+2$

Для решения этого уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x}$ и $y = x + 2$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = \frac{1}{x}$ – это гипербола. Ее ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. График функции $y = x + 2$ – это прямая. Для ее построения найдем две точки. Например, если $x=0$, то $y=2$ (точка (0, 2)), а если $x=-2$, то $y=0$ (точка (-2, 0)).

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Одна точка находится в первой четверти (с положительной абсциссой), а другая – в третьей четверти (с отрицательной абсциссой). Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Хотя графический метод дает приблизительные значения, мы можем найти точные корни с помощью алгебраического решения, которое подтверждает наличие двух пересечений.

Ответ: $x_1 = -1 - \sqrt{2}$, $x_2 = -1 + \sqrt{2}$.

2) $2x-1=\frac{1}{x}$

Рассмотрим функции $y = 2x - 1$ и $y = \frac{1}{x}$. Решения уравнения – это абсциссы точек пересечения их графиков.

1. График функции $y = \frac{1}{x}$ – гипербола с ветвями в I и III четвертях.

2. График функции $y = 2x - 1$ – прямая. Для построения возьмем точки: при $x=0$, $y=-1$ (точка (0, -1)); при $x=1$, $y=1$ (точка (1, 1)).

При построении графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Одна точка пересечения (1, 1) легко определяется по графику. Вторая точка находится в третьей четверти.

Ответ: $x_1 = -0.5$, $x_2 = 1$.

3) $-x+2=-\frac{1}{x}$

Построим графики функций $y = -x + 2$ и $y = -\frac{1}{x}$. Абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

1. График функции $y = -\frac{1}{x}$ – это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

2. График функции $y = -x + 2$ – это прямая. Найдем точки для построения: при $x=0$, $y=2$ (точка (0, 2)); при $x=2$, $y=0$ (точка (2, 0)).

Графики пересекаются в двух точках: одна во II четверти (с отрицательной абсциссой), другая в IV четверти (с положительной абсциссой).

Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$, $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

4) $-\frac{1}{x}=1-x$

Решим уравнение, найдя абсциссы точек пересечения графиков функций $y = -\frac{1}{x}$ и $y = 1 - x$.

1. График функции $y = -\frac{1}{x}$ – гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

2. График функции $y = 1 - x$ – прямая. Для построения возьмем точки: при $x=0$, $y=1$ (точка (0, 1)); при $x=1$, $y=0$ (точка (1, 0)).

Построив графики, видим две точки пересечения, симметрично расположенные относительно точки (0.5, 0.5).

Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

5) $\frac{2}{x}=x^2$

Решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \frac{2}{x}$ – гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях. Она проходит через точки (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1).

2. График функции $y = x^2$ – парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх.

Парабола $y=x^2$ расположена в I и II четвертях ($y \ge 0$), а гипербола $y=\frac{2}{x}$ - в I и III. Следовательно, их пересечение возможно только в I четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Видно, что графики пересекаются только в одной точке.

Ответ: $x = \sqrt[3]{2}$.

6) $x^3=\frac{2}{x}$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = \frac{2}{x}$. Решения уравнения – это абсциссы точек их пересечения.

1. График функции $y = x^3$ – кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях.

2. График функции $y = \frac{2}{x}$ – гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Оба графика расположены в I и III четвертях. В первой четверти ($x>0$) графики пересекаются в одной точке. В третьей четверти ($x<0$) графики также пересекаются в одной точке. Всего имеется две точки пересечения, симметричные относительно начала координат.

Ответ: $x_1 = -\sqrt[4]{2}$, $x_2 = \sqrt[4]{2}$.