Номер 363, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 3. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 363, страница 142.

Условие.

363. Вычислить значение выражения после его упрощения:

1) $((ab^{-1})^3 - a^3b^0) \cdot \frac{b^2}{1-b^{-3}}$ при $a=-5, b=2;$

2) $(x^{-1} - y)^{-2} : \frac{1}{x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3}$ при $x=4, y=-3.$

Решение 1.

Решение 4.

1) Сначала упростим данное выражение: $((ab^{-1})^3 - a^3b^0) \cdot \frac{b^2}{1-b^{-3}}$.

Используем свойства степеней: $b^0 = 1$ и $(ab^{-1})^3 = a^3(b^{-1})^3 = a^3b^{-3}$.

Выражение в первой скобке примет вид: $a^3b^{-3} - a^3$. Вынесем общий множитель $a^3$ за скобки:

$a^3(b^{-3} - 1)$.

Теперь преобразуем второй множитель, используя свойство отрицательной степени $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$:

$\frac{b^2}{1-b^{-3}} = \frac{b^2}{1-\frac{1}{b^3}} = \frac{b^2}{\frac{b^3-1}{b^3}} = \frac{b^2 \cdot b^3}{b^3-1} = \frac{b^5}{b^3-1}$.

Теперь перемножим преобразованные части выражения:

$a^3(b^{-3} - 1) \cdot \frac{b^5}{b^3-1} = a^3(\frac{1}{b^3} - 1) \cdot \frac{b^5}{b^3-1} = a^3(\frac{1-b^3}{b^3}) \cdot \frac{b^5}{b^3-1}$.

Заметим, что $1-b^3 = -(b^3-1)$. Сократим дробь:

$a^3 \frac{-(b^3-1)}{b^3} \cdot \frac{b^5}{b^3-1} = -a^3 \frac{b^5}{b^3} = -a^3b^{5-3} = -a^3b^2$.

Теперь, когда выражение упрощено до $-a^3b^2$, подставим в него заданные значения $a=-5$ и $b=2$:

$-(-5)^3 \cdot 2^2 = -(-125) \cdot 4 = 125 \cdot 4 = 500$.

Ответ: $500$.

2) Упростим выражение $(x^{-1} - y)^{-2} : \frac{1}{x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3}$.

Рассмотрим знаменатель дроби в делителе: $x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3$.

Это выражение является формулой куба разности $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

В нашем случае $A=x^{-1}$ и $B=y$. Таким образом:

$x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3 = (x^{-1} - y)^3$.

Теперь все выражение можно записать так:

$(x^{-1} - y)^{-2} : \frac{1}{(x^{-1} - y)^3}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(x^{-1} - y)^{-2} \cdot (x^{-1} - y)^3$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$(x^{-1} - y)^{-2+3} = (x^{-1} - y)^1 = x^{-1} - y$.

Теперь подставим заданные значения $x=4$ и $y=-3$ в упрощенное выражение $x^{-1} - y$:

$\frac{1}{x} - y = \frac{1}{4} - (-3) = \frac{1}{4} + 3 = 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4} = 3.25$.

Ответ: $3.25$.