Номер 356, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 356, страница 139.

Условие.

356. Пользуясь графиком функции $y=\frac{6}{x}$ (рис. 39):

1) найти приближённое значение функции при: $x=1,5; x=3,5; x=5; x=7; x=-1,2; x=-2,3; x=-5; x=-9;$

2) найти приближённое значение аргумента, если значение функции $y=-5; y=-10; y=-7; y=-2,5; y=3,8; y=1,6; y=8; y=11;$

3) определить, при каких значениях $x$ график функции расположен: а) выше прямой $y=3; y=4;$ б) ниже прямой $y=-2; y=-6;$

4) сравнить: $y(-5,3)$ и $y(-5,1); y(-3\frac{1}{2})$ и $y(-3\frac{1}{3}); y(7)$ и $y(8); y(9\frac{1}{3})$ и $y(9\frac{3}{4}).$

Решение 1.

Решение 4.

Поскольку в задании требуется найти приближенные значения по графику, а сам график (рис. 39) отсутствует, мы решим задачу аналитически, используя формулу функции $y=\frac{6}{x}$. Полученные значения будут точными или, при необходимости, округленными до двух знаков после запятой.

1) Для нахождения значения функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, подставим $x$ в формулу $y = \frac{6}{x}$:
при $x = 1,5$: $y = \frac{6}{1,5} = 4$;
при $x = 3,5$: $y = \frac{6}{3,5} = \frac{12}{7} \approx 1,71$;
при $x = 5$: $y = \frac{6}{5} = 1,2$;
при $x = 7$: $y = \frac{6}{7} \approx 0,86$;
при $x = -1,2$: $y = \frac{6}{-1,2} = -5$;
при $x = -2,3$: $y = \frac{6}{-2,3} = -\frac{60}{23} \approx -2,61$;
при $x = -5$: $y = \frac{6}{-5} = -1,2$;
при $x = -9$: $y = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3} \approx -0,67$.
Ответ: $y(1,5)=4$; $y(3,5)\approx1,71$; $y(5)=1,2$; $y(7)\approx0,86$; $y(-1,2)=-5$; $y(-2,3)\approx-2,61$; $y(-5)=-1,2$; $y(-9)\approx-0,67$.

2) Для нахождения значения аргумента $x$ при заданном значении функции $y$, выразим $x$ из формулы: $x = \frac{6}{y}$.
при $y = -5$: $x = \frac{6}{-5} = -1,2$;
при $y = -10$: $x = \frac{6}{-10} = -0,6$;
при $y = -7$: $x = \frac{6}{-7} \approx -0,86$;
при $y = -2,5$: $x = \frac{6}{-2,5} = -2,4$;
при $y = 3,8$: $x = \frac{6}{3,8} = \frac{30}{19} \approx 1,58$;
при $y = 1,6$: $x = \frac{6}{1,6} = 3,75$;
при $y = 8$: $x = \frac{6}{8} = 0,75$;
при $y = 11$: $x = \frac{6}{11} \approx 0,55$.
Ответ: при $y=-5, x=-1,2$; при $y=-10, x=-0,6$; при $y=-7, x\approx-0,86$; при $y=-2,5, x=-2,4$; при $y=3,8, x\approx1,58$; при $y=1,6, x=3,75$; при $y=8, x=0,75$; при $y=11, x\approx0,55$.

3) Определим, при каких значениях $x$ график функции расположен выше или ниже заданных прямых, решив соответствующие неравенства.
а) График расположен выше прямой (т.е. $y$ больше).
Выше прямой $y=3$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} > 3$. Переносим 3 в левую часть: $\frac{6}{x} - 3 > 0 \implies \frac{6-3x}{x} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (0; 2)$.
Выше прямой $y=4$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} > 4$. Аналогично, $\frac{6}{x} - 4 > 0 \implies \frac{6-4x}{x} > 0$. Решением является интервал $x \in (0; 1,5)$.
б) График расположен ниже прямой (т.е. $y$ меньше).
Ниже прямой $y=-2$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} < -2$. Переносим -2 в левую часть: $\frac{6}{x} + 2 < 0 \implies \frac{6+2x}{x} < 0$. Решением является интервал $x \in (-3; 0)$.
Ниже прямой $y=-6$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} < -6$. Аналогично, $\frac{6}{x} + 6 < 0 \implies \frac{6+6x}{x} < 0$. Решением является интервал $x \in (-1; 0)$.
Ответ: а) график выше прямой $y=3$ при $x \in (0; 2)$; выше прямой $y=4$ при $x \in (0; 1,5)$; б) график ниже прямой $y=-2$ при $x \in (-3; 0)$; ниже прямой $y=-6$ при $x \in (-1; 0)$.

4) Для сравнения значений функции $y = \frac{6}{x}$ воспользуемся свойством её монотонности. Функция $y = \frac{6}{x}$ является убывающей на каждом из своих промежутков определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из одного промежутка, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) > y(x_2)$.
- Сравним $y(-5,3)$ и $y(-5,1)$. Аргументы $-5,3$ и $-5,1$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. Так как $-5,3 < -5,1$, то, согласно свойству убывающей функции, $y(-5,3) > y(-5,1)$.
- Сравним $y(-3\frac{1}{2})$ и $y(-3\frac{1}{3})$. Аргументы $-3\frac{1}{2} = -3,5$ и $-3\frac{1}{3} \approx -3,33$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. Так как $-3\frac{1}{2} < -3\frac{1}{3}$, то $y(-3\frac{1}{2}) > y(-3\frac{1}{3})$.
- Сравним $y(7)$ и $y(8)$. Аргументы $7$ и $8$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$. Так как $7 < 8$, то $y(7) > y(8)$.
- Сравним $y(9\frac{1}{3})$ и $y(9\frac{3}{4})$. Аргументы $9\frac{1}{3}$ и $9\frac{3}{4}$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$. Так как $9\frac{1}{3} < 9\frac{3}{4}$, то $y(9\frac{1}{3}) > y(9\frac{3}{4})$.
Ответ: $y(-5,3) > y(-5,1)$; $y(-3\frac{1}{2}) > y(-3\frac{1}{3})$; $y(7) > y(8)$; $y(9\frac{1}{3}) > y(9\frac{3}{4})$.