Номер 359, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 359, страница 140.

Условие.

359. На миллиметровой бумаге построить график функции:

1) $y = \frac{1}{x}$;

2) $y = -\frac{1}{x}$;

3) $y = -\frac{12}{x}$;

4) $y = \frac{12}{x}$.

Перечислить свойства этой функции.

Решение 1.

Решение 4.

1) $y = \frac{1}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=1$. Графиком функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения графика на миллиметровой бумаге составим таблицу значений для нескольких точек:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	-0.25	-0.5	-1	-2	2	1	0.5	0.25

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их двумя плавными кривыми (ветвями), которые симметричны относительно начала координат и приближаются к осям Ox и Oy (асимптотам).

Свойства функции $y = \frac{1}{x}$:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей у функции нет, так как уравнение $\frac{1}{x}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
• Так как $x \neq 0$, график не пересекает ось Oy.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$); горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$).

Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства перечислены выше.

---

2) $y = -\frac{1}{x}$

Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-1$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Составим таблицу значений:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	0.25	0.5	1	2	-2	-1	-0.5	-0.25

Построив точки и соединив их, получим гиперболу. Этот график можно также получить, отразив график функции $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси Ox или оси Oy.

Свойства функции $y = -\frac{1}{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = -(-\frac{1}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей у функции нет. График не пересекает ось Ox.
• График не пересекает ось Oy.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось Oy); горизонтальная $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.

---

3) $y = -\frac{12}{x}$

Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-12 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. По сравнению с $y = -\frac{1}{x}$, график "растянут" от начала координат в 12 раз.

Составим таблицу значений, выбирая в качестве $x$ делители числа 12 для удобства вычислений:

$x$	-12	-6	-4	-3	-2	2	3	4	6	12
$y$	1	2	3	4	6	-6	-4	-3	-2	-1

Построим график по точкам. Ветви гиперболы будут дальше от осей координат, чем у графика $y=-\frac{1}{x}$.

Свойства функции $y = -\frac{12}{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{12}{-x} = \frac{12}{x} = -(-\frac{12}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей нет.
• График не пересекает оси координат.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.

---

4) $y = \frac{12}{x}$

Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Составим таблицу значений, используя делители числа 12:

$x$	-12	-6	-4	-3	-2	2	3	4	6	12
$y$	-1	-2	-3	-4	-6	6	4	3	2	1

Построим график по точкам. График симметричен графику $y = -\frac{12}{x}$ относительно осей координат.

Свойства функции $y = \frac{12}{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{12}{-x} = - \frac{12}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нулей нет. График не пересекает оси координат.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Основные свойства перечислены выше.