Номер 366, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 3. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 366, страница 142.

Условие.

366. Вычислить:

1) $9,3 \cdot 10^{-6} : (3,1 \cdot 10^{-5});$

2) $1,7 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^{7};$

3) $8,1 \cdot 10^{16} \cdot 2 \cdot 10^{-14};$

4) $6,4 \cdot 10^{5} : (1,6 \cdot 10^{7});$

5) $2 \cdot 10^{-1} + (6^{0} - \frac{1}{6})^{-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-2} \cdot (\frac{1}{3})^{3} \cdot (-\frac{1}{4})^{-1};$

6) $3 \cdot 10^{-1} - (8^{0} - \frac{1}{8})^{-1} \cdot (\frac{1}{4})^{-3} \cdot (\frac{1}{4})^{4} \cdot (\frac{5}{7})^{-1}.$

Решение 1.

Решение 4.

1) Чтобы разделить числа, записанные в стандартном виде, нужно отдельно разделить их числовые множители и отдельно степени десяти. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.
$9,3 \cdot 10^{-6} : (3,1 \cdot 10^{-5}) = (9,3 : 3,1) \cdot (10^{-6} : 10^{-5}) = 3 \cdot 10^{-6 - (-5)} = 3 \cdot 10^{-6+5} = 3 \cdot 10^{-1} = 0,3$.
Ответ: $0,3$

2) Чтобы перемножить числа, записанные в стандартном виде, нужно отдельно перемножить их числовые множители и отдельно степени десяти. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
$1,7 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^7 = (1,7 \cdot 3) \cdot (10^{-6} \cdot 10^7) = 5,1 \cdot 10^{-6+7} = 5,1 \cdot 10^1 = 51$.
Ответ: $51$

3) Аналогично предыдущему примеру, сгруппируем и перемножим числовые множители и степени десяти по отдельности.
$8,1 \cdot 10^{16} \cdot 2 \cdot 10^{-14} = (8,1 \cdot 2) \cdot (10^{16} \cdot 10^{-14}) = 16,2 \cdot 10^{16-14} = 16,2 \cdot 10^2 = 1620$.
Ответ: $1620$

4) Аналогично первому примеру, разделим числовые множители и степени десяти по отдельности.
$6,4 \cdot 10^5 : (1,6 \cdot 10^7) = (6,4 : 1,6) \cdot (10^5 : 10^7) = 4 \cdot 10^{5-7} = 4 \cdot 10^{-2} = 0,04$.
Ответ: $0,04$

5) Решим по действиям, используя свойства степеней: $a^0=1$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
1. Вычислим значение в скобках: $6^0 - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
2. Вычислим вторую часть выражения, перемножив степени:
$(6^0 - \frac{1}{6})^{-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-2} \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (-\frac{1}{4})^{-1} = (\frac{5}{6})^{-1} \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^3} \cdot (-4)^1 = \frac{6}{5} \cdot 9 \cdot \frac{1}{27} \cdot (-4)$.
3. Упростим произведение: $\frac{6}{5} \cdot \frac{9}{27} \cdot (-4) = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot (-4) = \frac{6 \cdot 1 \cdot (-4)}{5 \cdot 3} = \frac{2 \cdot (-4)}{5} = -\frac{8}{5} = -1,6$.
4. Вычислим первое слагаемое и сложим с результатом:
$2 \cdot 10^{-1} = 2 \cdot 0,1 = 0,2$.
$0,2 + (-1,6) = 0,2 - 1,6 = -1,4$.
Ответ: $-1,4$

6) Решим по действиям, используя свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
1. Вычислим значение в скобках: $8^0 - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
2. Вычислим вторую часть выражения. Сначала упростим степени с одинаковым основанием: $(\frac{1}{4})^{-3} \cdot (\frac{1}{4})^4 = (\frac{1}{4})^{-3+4} = (\frac{1}{4})^1 = \frac{1}{4}$.
3. Теперь вычислим все произведение:
$(8^0 - \frac{1}{8})^{-1} \cdot (\frac{1}{4})^{-3} \cdot (\frac{1}{4})^4 \cdot (\frac{5}{7})^{-1} = (\frac{7}{8})^{-1} \cdot \frac{1}{4} \cdot (\frac{5}{7})^{-1} = \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{5}$.
4. Сократим дроби: $\frac{8}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{8 \cdot 1 \cdot 7}{7 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{8}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5} = 0,4$.
5. Вычислим первое слагаемое и найдем разность:
$3 \cdot 10^{-1} = 3 \cdot 0,1 = 0,3$.
$0,3 - 0,4 = -0,1$.
Ответ: $-0,1$