Страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

363. Вычислить значение выражения после его упрощения:

1) $((ab^{-1})^3 - a^3b^0) \cdot \frac{b^2}{1-b^{-3}}$ при $a=-5, b=2;$

2) $(x^{-1} - y)^{-2} : \frac{1}{x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3}$ при $x=4, y=-3.$

1) Сначала упростим данное выражение: $((ab^{-1})^3 - a^3b^0) \cdot \frac{b^2}{1-b^{-3}}$.

Используем свойства степеней: $b^0 = 1$ и $(ab^{-1})^3 = a^3(b^{-1})^3 = a^3b^{-3}$.

Выражение в первой скобке примет вид: $a^3b^{-3} - a^3$. Вынесем общий множитель $a^3$ за скобки:

$a^3(b^{-3} - 1)$.

Теперь преобразуем второй множитель, используя свойство отрицательной степени $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$:

$\frac{b^2}{1-b^{-3}} = \frac{b^2}{1-\frac{1}{b^3}} = \frac{b^2}{\frac{b^3-1}{b^3}} = \frac{b^2 \cdot b^3}{b^3-1} = \frac{b^5}{b^3-1}$.

Теперь перемножим преобразованные части выражения:

$a^3(b^{-3} - 1) \cdot \frac{b^5}{b^3-1} = a^3(\frac{1}{b^3} - 1) \cdot \frac{b^5}{b^3-1} = a^3(\frac{1-b^3}{b^3}) \cdot \frac{b^5}{b^3-1}$.

Заметим, что $1-b^3 = -(b^3-1)$. Сократим дробь:

$a^3 \frac{-(b^3-1)}{b^3} \cdot \frac{b^5}{b^3-1} = -a^3 \frac{b^5}{b^3} = -a^3b^{5-3} = -a^3b^2$.

Теперь, когда выражение упрощено до $-a^3b^2$, подставим в него заданные значения $a=-5$ и $b=2$:

$-(-5)^3 \cdot 2^2 = -(-125) \cdot 4 = 125 \cdot 4 = 500$.

Ответ: $500$.

2) Упростим выражение $(x^{-1} - y)^{-2} : \frac{1}{x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3}$.

Рассмотрим знаменатель дроби в делителе: $x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3$.

Это выражение является формулой куба разности $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

В нашем случае $A=x^{-1}$ и $B=y$. Таким образом:

$x^{-3} - 3x^{-2}y + 3x^{-1}y^2 - y^3 = (x^{-1} - y)^3$.

Теперь все выражение можно записать так:

$(x^{-1} - y)^{-2} : \frac{1}{(x^{-1} - y)^3}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(x^{-1} - y)^{-2} \cdot (x^{-1} - y)^3$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$(x^{-1} - y)^{-2+3} = (x^{-1} - y)^1 = x^{-1} - y$.

Теперь подставим заданные значения $x=4$ и $y=-3$ в упрощенное выражение $x^{-1} - y$:

$\frac{1}{x} - y = \frac{1}{4} - (-3) = \frac{1}{4} + 3 = 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4} = 3.25$.

Ответ: $3.25$.

Записать в стандартном виде (364–365).

364. 1) $200\,000^4$; 2) $0,0003^3$; 3) $4000^{-2}$; 4) $0,002^{-3}$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

1) Записать в стандартном виде $200 000^4$.

Сначала представим число $200 000$ в стандартном виде:

$200 000 = 2 \times 100 000 = 2 \times 10^5$.

Теперь возведем это выражение в четвертую степень, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2 \times 10^5)^4 = 2^4 \times (10^5)^4 = 16 \times 10^{5 \times 4} = 16 \times 10^{20}$.

Полученное число $16 \times 10^{20}$ необходимо привести к стандартному виду, так как $16 \ge 10$. Для этого представим $16$ в стандартном виде:

$16 = 1.6 \times 10^1$.

Подставим это значение в выражение:

$(1.6 \times 10^1) \times 10^{20} = 1.6 \times 10^{1+20} = 1.6 \times 10^{21}$.

Ответ: $1.6 \times 10^{21}$.

2) Записать в стандартном виде $0.0003^3$.

Представим число $0.0003$ в стандартном виде:

$0.0003 = 3 \times 0.0001 = 3 \times 10^{-4}$.

Возведем в третью степень:

$(3 \times 10^{-4})^3 = 3^3 \times (10^{-4})^3 = 27 \times 10^{-4 \times 3} = 27 \times 10^{-12}$.

Приведем результат к стандартному виду, так как $27 \ge 10$. Представим $27$ в стандартном виде:

$27 = 2.7 \times 10^1$.

Подставим это значение в выражение:

$(2.7 \times 10^1) \times 10^{-12} = 2.7 \times 10^{1+(-12)} = 2.7 \times 10^{-11}$.

Ответ: $2.7 \times 10^{-11}$.

3) Записать в стандартном виде $4000^{-2}$.

Представим число $4000$ в стандартном виде:

$4000 = 4 \times 1000 = 4 \times 10^3$.

Возведем в степень $-2$:

$(4 \times 10^3)^{-2} = 4^{-2} \times (10^3)^{-2} = \frac{1}{4^2} \times 10^{3 \times (-2)} = \frac{1}{16} \times 10^{-6}$.

Переведем дробь $\frac{1}{16}$ в десятичную: $\frac{1}{16} = 0.0625$.

Получаем выражение: $0.0625 \times 10^{-6}$.

Приведем результат к стандартному виду, так как $0.0625 < 1$. Представим $0.0625$ в стандартном виде:

$0.0625 = 6.25 \times 10^{-2}$.

Подставим это значение в выражение:

$(6.25 \times 10^{-2}) \times 10^{-6} = 6.25 \times 10^{-2+(-6)} = 6.25 \times 10^{-8}$.

Ответ: $6.25 \times 10^{-8}$.

4) Записать в стандартном виде $0.002^{-3}$.

Представим число $0.002$ в стандартном виде:

$0.002 = 2 \times 0.001 = 2 \times 10^{-3}$.

Возведем в степень $-3$:

$(2 \times 10^{-3})^{-3} = 2^{-3} \times (10^{-3})^{-3} = \frac{1}{2^3} \times 10^{-3 \times (-3)} = \frac{1}{8} \times 10^9$.

Переведем дробь $\frac{1}{8}$ в десятичную: $\frac{1}{8} = 0.125$.

Получаем выражение: $0.125 \times 10^9$.

Приведем результат к стандартному виду, так как $0.125 < 1$. Представим $0.125$ в стандартном виде:

$0.125 = 1.25 \times 10^{-1}$.

Подставим это значение в выражение:

$(1.25 \times 10^{-1}) \times 10^9 = 1.25 \times 10^{-1+9} = 1.25 \times 10^8$.

Ответ: $1.25 \times 10^8$.

365. 1) 0,0000087;

2) 0,00000005086;

3) $\frac{1}{125};$

4) $\frac{1}{625};$

1) Чтобы представить число 0,0000087 в стандартном виде, который имеет форму $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число, необходимо переместить запятую вправо так, чтобы слева от нее осталась одна ненулевая цифра.
В числе 0,0000087 перемещаем запятую на 6 позиций вправо, чтобы получить число 8,7, которое удовлетворяет условию $1 \le 8,7 < 10$.
Поскольку запятая была перемещена вправо на 6 знаков, показатель степени $n$ будет равен -6.
Таким образом, получаем: $0,0000087 = 8,7 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $8,7 \cdot 10^{-6}$.

2) Для числа 0,00000005086 применим тот же подход.
Перемещаем запятую вправо до первой значащей цифры, чтобы получить число 5,086. Это число находится в диапазоне $1 \le 5,086 < 10$.
Для этого пришлось переместить запятую на 8 позиций вправо.
Следовательно, показатель степени $n$ будет равен -8.
В результате получаем: $0,00000005086 = 5,086 \cdot 10^{-8}$.
Ответ: $5,086 \cdot 10^{-8}$.

3) Сначала необходимо преобразовать обыкновенную дробь $\frac{1}{125}$ в десятичную.
Знаменатель $125$ можно представить как степень числа 5: $125 = 5^3$. Чтобы получить в знаменателе степень числа 10, домножим числитель и знаменатель на $2^3 = 8$:
$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = \frac{1 \cdot 2^3}{5^3 \cdot 2^3} = \frac{8}{(5 \cdot 2)^3} = \frac{8}{10^3} = \frac{8}{1000} = 0,008$.
Теперь запишем десятичную дробь 0,008 в стандартном виде.
Перемещаем запятую на 3 позиции вправо, чтобы получить число 8.
Так как запятая смещена вправо на 3 знака, показатель степени $n$ будет -3.
Следовательно: $0,008 = 8 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $8 \cdot 10^{-3}$.

4) Преобразуем дробь $\frac{1}{625}$ в десятичную.
Знаменатель $625$ равен $5^4$. Чтобы получить в знаменателе степень числа 10, домножим числитель и знаменатель на $2^4 = 16$:
$\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = \frac{1 \cdot 2^4}{5^4 \cdot 2^4} = \frac{16}{(5 \cdot 2)^4} = \frac{16}{10^4} = \frac{16}{10000} = 0,0016$.
Теперь представим число 0,0016 в стандартном виде.
Перемещаем запятую на 3 позиции вправо, чтобы получить число 1,6. Это число удовлетворяет условию $1 \le 1,6 < 10$.
Поскольку запятая была смещена на 3 знака вправо, показатель степени $n$ равен -3.
Таким образом: $0,0016 = 1,6 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $1,6 \cdot 10^{-3}$.

366. Вычислить:

1) $9,3 \cdot 10^{-6} : (3,1 \cdot 10^{-5});$

2) $1,7 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^{7};$

3) $8,1 \cdot 10^{16} \cdot 2 \cdot 10^{-14};$

4) $6,4 \cdot 10^{5} : (1,6 \cdot 10^{7});$

5) $2 \cdot 10^{-1} + (6^{0} - \frac{1}{6})^{-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-2} \cdot (\frac{1}{3})^{3} \cdot (-\frac{1}{4})^{-1};$

6) $3 \cdot 10^{-1} - (8^{0} - \frac{1}{8})^{-1} \cdot (\frac{1}{4})^{-3} \cdot (\frac{1}{4})^{4} \cdot (\frac{5}{7})^{-1}.$

1) Чтобы разделить числа, записанные в стандартном виде, нужно отдельно разделить их числовые множители и отдельно степени десяти. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.
$9,3 \cdot 10^{-6} : (3,1 \cdot 10^{-5}) = (9,3 : 3,1) \cdot (10^{-6} : 10^{-5}) = 3 \cdot 10^{-6 - (-5)} = 3 \cdot 10^{-6+5} = 3 \cdot 10^{-1} = 0,3$.
Ответ: $0,3$

2) Чтобы перемножить числа, записанные в стандартном виде, нужно отдельно перемножить их числовые множители и отдельно степени десяти. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
$1,7 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^7 = (1,7 \cdot 3) \cdot (10^{-6} \cdot 10^7) = 5,1 \cdot 10^{-6+7} = 5,1 \cdot 10^1 = 51$.
Ответ: $51$

3) Аналогично предыдущему примеру, сгруппируем и перемножим числовые множители и степени десяти по отдельности.
$8,1 \cdot 10^{16} \cdot 2 \cdot 10^{-14} = (8,1 \cdot 2) \cdot (10^{16} \cdot 10^{-14}) = 16,2 \cdot 10^{16-14} = 16,2 \cdot 10^2 = 1620$.
Ответ: $1620$

4) Аналогично первому примеру, разделим числовые множители и степени десяти по отдельности.
$6,4 \cdot 10^5 : (1,6 \cdot 10^7) = (6,4 : 1,6) \cdot (10^5 : 10^7) = 4 \cdot 10^{5-7} = 4 \cdot 10^{-2} = 0,04$.
Ответ: $0,04$

5) Решим по действиям, используя свойства степеней: $a^0=1$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
1. Вычислим значение в скобках: $6^0 - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
2. Вычислим вторую часть выражения, перемножив степени:
$(6^0 - \frac{1}{6})^{-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-2} \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (-\frac{1}{4})^{-1} = (\frac{5}{6})^{-1} \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^3} \cdot (-4)^1 = \frac{6}{5} \cdot 9 \cdot \frac{1}{27} \cdot (-4)$.
3. Упростим произведение: $\frac{6}{5} \cdot \frac{9}{27} \cdot (-4) = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot (-4) = \frac{6 \cdot 1 \cdot (-4)}{5 \cdot 3} = \frac{2 \cdot (-4)}{5} = -\frac{8}{5} = -1,6$.
4. Вычислим первое слагаемое и сложим с результатом:
$2 \cdot 10^{-1} = 2 \cdot 0,1 = 0,2$.
$0,2 + (-1,6) = 0,2 - 1,6 = -1,4$.
Ответ: $-1,4$

6) Решим по действиям, используя свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
1. Вычислим значение в скобках: $8^0 - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
2. Вычислим вторую часть выражения. Сначала упростим степени с одинаковым основанием: $(\frac{1}{4})^{-3} \cdot (\frac{1}{4})^4 = (\frac{1}{4})^{-3+4} = (\frac{1}{4})^1 = \frac{1}{4}$.
3. Теперь вычислим все произведение:
$(8^0 - \frac{1}{8})^{-1} \cdot (\frac{1}{4})^{-3} \cdot (\frac{1}{4})^4 \cdot (\frac{5}{7})^{-1} = (\frac{7}{8})^{-1} \cdot \frac{1}{4} \cdot (\frac{5}{7})^{-1} = \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{5}$.
4. Сократим дроби: $\frac{8}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{8 \cdot 1 \cdot 7}{7 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{8}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5} = 0,4$.
5. Вычислим первое слагаемое и найдем разность:
$3 \cdot 10^{-1} = 3 \cdot 0,1 = 0,3$.
$0,3 - 0,4 = -0,1$.
Ответ: $-0,1$

367. Вычислить на калькуляторе и записать результат в стандартном виде:

1) $ (786^{-7})^4 : (786^5)^{-6}; $

2) $ (923^3)^{-6} \cdot (923^5)^4; $

3) $ (1,76)^2 \cdot 35^2; $

4) $ 47^3 : (2,5)^3. $

1) $(786^{-7})^4 : (786^5)^{-6}$

Для решения применим свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Упростим выражение:

$(786^{-7})^4 : (786^5)^{-6} = 786^{-7 \cdot 4} : 786^{5 \cdot (-6)} = 786^{-28} : 786^{-30}$

$786^{-28 - (-30)} = 786^{-28 + 30} = 786^2$

Теперь вычислим значение на калькуляторе:

$786^2 = 617796$

Запишем результат в стандартном виде, то есть в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

$617796 = 6.17796 \cdot 10^5$

Ответ: $6.17796 \cdot 10^5$

2) $(923^3)^{-6} \cdot (923^5)^4$

Используем свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Упростим выражение:

$(923^3)^{-6} \cdot (923^5)^4 = 923^{3 \cdot (-6)} \cdot 923^{5 \cdot 4} = 923^{-18} \cdot 923^{20}$

$923^{-18 + 20} = 923^2$

Вычислим значение на калькуляторе:

$923^2 = 851929$

Запишем результат в стандартном виде:

$851929 = 8.51929 \cdot 10^5$

Ответ: $8.51929 \cdot 10^5$

3) $(1,76)^2 \cdot 35^2$

Воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(1.76)^2 \cdot 35^2 = (1.76 \cdot 35)^2$

Сначала вычислим произведение в скобках:

$1.76 \cdot 35 = 61.6$

Затем возведем полученный результат в квадрат:

$(61.6)^2 = 3794.56$

Запишем результат в стандартном виде:

$3794.56 = 3.79456 \cdot 10^3$

Ответ: $3.79456 \cdot 10^3$

4) $47^3 : (2,5)^3$

Применим свойство степени частного: $a^n : b^n = (a : b)^n$.

$47^3 : (2.5)^3 = (47 : 2.5)^3$

Сначала вычислим частное в скобках:

$47 : 2.5 = 18.8$

Затем возведем полученный результат в куб:

$(18.8)^3 = 6644.672$

Запишем результат в стандартном виде:

$6644.672 = 6.644672 \cdot 10^3$

Ответ: $6.644672 \cdot 10^3$

368. С помощью калькулятора вычислить объём куба, длина ребра которого равна:

1) $1.54 \cdot 10^{-4}\text{ мм}$;

2) $3.18 \cdot 10^{5}\text{ км}$;

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

1)

Дана длина ребра куба $a = 1,54 \cdot 10^{-4}$ мм.
Найдем объем куба $V$:
$V = a^3 = (1,54 \cdot 10^{-4})^3$
Используя свойства степеней, получаем:
$V = (1,54)^3 \cdot (10^{-4})^3 = 1,54^3 \cdot 10^{-4 \cdot 3} = 1,54^3 \cdot 10^{-12}$
С помощью калькулятора вычислим $1,54^3$:
$1,54^3 = 1,54 \cdot 1,54 \cdot 1,54 = 3,652264$
Подставим полученное значение в формулу объема:
$V = 3,652264 \cdot 10^{-12}$ мм³
Ответ: $3,652264 \cdot 10^{-12}$ мм³.

2)

Дана длина ребра куба $a = 3,18 \cdot 10^{5}$ км.
Найдем объем куба $V$:
$V = a^3 = (3,18 \cdot 10^{5})^3$
Используя свойства степеней, получаем:
$V = (3,18)^3 \cdot (10^{5})^3 = 3,18^3 \cdot 10^{5 \cdot 3} = 3,18^3 \cdot 10^{15}$
С помощью калькулятора вычислим $3,18^3$:
$3,18^3 = 3,18 \cdot 3,18 \cdot 3,18 = 32,157432$
Подставим полученное значение в формулу объема:
$V = 32,157432 \cdot 10^{15}$ км³
Для приведения к стандартному виду, представим число 32,157432 как $3,2157432 \cdot 10^1$:
$V = (3,2157432 \cdot 10^1) \cdot 10^{15} = 3,2157432 \cdot 10^{1+15} = 3,2157432 \cdot 10^{16}$ км³
Ответ: $3,2157432 \cdot 10^{16}$ км³.

369. По графику функции $y=x^2$ найти:

1) значение y при $x=0,6$; $x=1,8$; $x=-2,2$; $x=-3,3$;

2) значение x, если $y=4$; $y=5,5$; $y=1,5$; $y=7$.

1) значение y при x=0,6; x=1,8; x=-2,2; x=-3,3;
Для того чтобы найти значение функции $y=x^2$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо подставить это значение в формулу и выполнить вычисления. Несмотря на то, что в условии задачи предлагается использовать график, для получения точного ответа следует провести аналитические вычисления, так как считывание с графика может дать лишь приблизительный результат.
- При $x=0,6$:
$y = (0,6)^2 = 0,36$
- При $x=1,8$:
$y = (1,8)^2 = 3,24$
- При $x=-2,2$:
$y = (-2,2)^2 = 4,84$
- При $x=-3,3$:
$y = (-3,3)^2 = 10,89$

Ответ: при $x=0,6$ значение $y=0,36$; при $x=1,8$ значение $y=3,24$; при $x=-2,2$ значение $y=4,84$; при $x=-3,3$ значение $y=10,89$.

2) значение x, если y=4; y=5,5; y=1,5; y=7.
Для того чтобы найти значения аргумента $x$, которым соответствует заданное значение функции $y$, необходимо решить уравнение $x^2 = y$. Решениями этого уравнения являются $x = \pm\sqrt{y}$. Это означает, что для каждого положительного значения $y$ существует два противоположных по знаку значения $x$, симметричных относительно оси ординат. При поиске значений по графику мы бы получили приблизительные результаты для иррациональных корней.
- Если $y=4$:
$x^2=4$, следовательно $x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
- Если $y=5,5$:
$x^2=5,5$, следовательно $x = \pm\sqrt{5,5} \approx \pm2,35$.
- Если $y=1,5$:
$x^2=1,5$, следовательно $x = \pm\sqrt{1,5} \approx \pm1,22$.
- Если $y=7$:
$x^2=7$, следовательно $x = \pm\sqrt{7} \approx \pm2,65$.

Ответ: если $y=4$, то $x=\pm2$; если $y=5,5$, то $x \approx \pm2,35$; если $y=1,5$, то $x \approx \pm1,22$; если $y=7$, то $x \approx \pm2,65$.

370. Выяснить, принадлежит ли графику функции $y = x^2$ точка:

A$\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{6}\right)$

B$\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{8}\right)$

C$(-1; 1)$

D$(0.1; -0.001)$

Для того чтобы выяснить, принадлежит ли точка графику функции $y=x^2$, необходимо подставить координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение функции. Если в результате получается верное равенство, точка принадлежит графику.

A($\frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$)

Подставим абсциссу (координату $x$) точки A в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:
$x = \frac{1}{2}$
$y = x^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Теперь сравним полученное значение $y$ с ординатой точки A. Ордината точки A равна $\frac{1}{6}$.
Поскольку $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{6}$, точка A не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

B($-\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{8}$)

Подставим абсциссу точки B в уравнение функции:
$x = -\frac{1}{2}$
$y = x^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Ордината точки B равна $-\frac{1}{8}$.
Поскольку $\frac{1}{4} \neq -\frac{1}{8}$, точка B не принадлежит графику функции.
(Также можно отметить, что значение функции $y=x^2$ не может быть отрицательным, а ордината точки B отрицательна).
Ответ: не принадлежит.

C(-1; 1)

Подставим абсциссу точки C в уравнение функции:
$x = -1$
$y = x^2 = (-1)^2 = 1$.
Ордината точки C равна $1$.
Поскольку $1 = 1$, полученное значение совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

D(0,1; -0,001)

Подставим абсциссу точки D в уравнение функции:
$x = 0,1$
$y = x^2 = (0,1)^2 = 0,01$.
Ордината точки D равна $-0,001$.
Поскольку $0,01 \neq -0,001$, точка D не принадлежит графику функции.
(Здесь также ордината точки отрицательна, что невозможно для функции $y=x^2$).
Ответ: не принадлежит.

371. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания $x$ см и $y$ см и высотой 15 см имеет объём 360 см$^3$. Выразить формулой зависимость $y$ от $x$. Определить вид этой зависимости и построить её график.

Выразить формулой зависимость y от x

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение сторон основания ($a$, $b$) и высоты ($h$):
$V = a \cdot b \cdot h$
Согласно условию задачи, у нас есть:
- стороны основания: $x$ см и $y$ см
- высота $h = 15$ см
- объём $V = 360$ см³
Подставим эти значения в формулу объёма:
$360 = x \cdot y \cdot 15$
Чтобы найти зависимость $y$ от $x$, выразим $y$ из этого уравнения. Сначала разделим обе части на 15:
$xy = \frac{360}{15}$
$xy = 24$
Теперь выразим $y$, разделив обе части на $x$. Так как $x$ — это длина стороны, она не может быть равна нулю ($x > 0$), поэтому деление возможно.
$y = \frac{24}{x}$
Ответ: Формула зависимости $y$ от $x$: $y = \frac{24}{x}$, где $x > 0$.

Определить вид этой зависимости

Функция $y = \frac{24}{x}$ имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, в данном случае $k=24$.
Такая зависимость называется обратной пропорциональностью. Это означает, что при увеличении значения $x$ в несколько раз, значение $y$ уменьшается во столько же раз, и наоборот. Произведение $x \cdot y$ всегда остается постоянным и равным 24.
Ответ: Вид зависимости — обратная пропорциональность.

Построить её график

Графиком функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ является гипербола. Поскольку $x$ и $y$ представляют собой длины сторон, их значения должны быть положительными ($x > 0$, $y > 0$). Следовательно, мы строим только ту ветвь гиперболы, которая находится в первой координатной четверти.
Для построения графика составим таблицу значений, выбирая удобные значения $x$, которые являются делителями числа 24:

Отметим точки с координатами из таблицы на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти, как показано на рисунке и в таблице.

372. Решить графически уравнение:

1) $x^2 = 7;$

2) $x^2 = 4,5;$

3) $x^3 = -2,5;$

4) $x^3 = 3,5;$

5) $|x| = -3;$

6) $|x| = 4;$

7) $\frac{1}{x} = -3;$

8) $\frac{3}{x} = 2,5.$

1) Для графического решения уравнения $x^2 = 7$ построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 7$.
График функции $y = x^2$ – это парабола, вершина которой находится в начале координат, а ветви направлены вверх.
График функции $y = 7$ – это прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0; 7)$.
Эти два графика пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. Из графика видно, что одна точка имеет положительную абсциссу, а другая — отрицательную. Эти значения равны по модулю.
Точные значения абсцисс точек пересечения: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{7}, x_2 = \sqrt{7}$.

2) Для графического решения уравнения $x^2 = 4,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 4,5$.
График функции $y = x^2$ – это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх.
График функции $y = 4,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 4,5)$.
Парабола и прямая пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси ординат (оси $Oy$). Абсциссы этих точек являются корнями исходного уравнения.
Точные значения абсцисс: $x_1 = -\sqrt{4,5}$ и $x_2 = \sqrt{4,5}$.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{4,5}, x_2 = \sqrt{4,5}$.

3) Для графического решения уравнения $x^3 = -2,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -2,5$.
График функции $y = x^3$ – это кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.
График функции $y = -2,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -2,5)$.
Графики пересекаются в одной точке, которая находится в III координатной четверти (так как значение $y$ отрицательно). Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.
Точное значение абсциссы: $x = \sqrt[3]{-2,5}$.
Ответ: $x = \sqrt[3]{-2,5}$.

4) Для графического решения уравнения $x^3 = 3,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 3,5$.
График функции $y = x^3$ – это кубическая парабола.
График функции $y = 3,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 3,5)$.
Графики пересекаются в одной точке, которая находится в I координатной четверти (так как значение $y$ положительно). Абсцисса этой точки является решением уравнения.
Точное значение абсциссы: $x = \sqrt[3]{3,5}$.
Ответ: $x = \sqrt[3]{3,5}$.

5) Для графического решения уравнения $|x| = -3$ построим в одной системе координат графики функций $y = |x|$ и $y = -3$.
График функции $y = |x|$ представляет собой два луча, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Весь график расположен в верхней полуплоскости (значения $y$ всегда неотрицательны, $y \ge 0$).
График функции $y = -3$ – это прямая, параллельная оси $Ox$, расположенная в нижней полуплоскости.
Поскольку график $y = |x|$ никогда не принимает отрицательных значений, а график $y = -3$ всегда отрицателен, у них нет точек пересечения.
Ответ: нет решений.

6) Для графического решения уравнения $|x| = 4$ построим в одной системе координат графики функций $y = |x|$ и $y = 4$.
График функции $y = |x|$ – это "галочка" с вершиной в начале координат.
График функции $y = 4$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 4)$.
Прямая $y=4$ пересекает график $y=|x|$ в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$.
Первая точка пересечения (с лучом $y=x$) имеет абсциссу $x=4$.
Вторая точка пересечения (с лучом $y=-x$) имеет абсциссу $-x=4$, то есть $x=-4$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 4$.

7) Для графического решения уравнения $\frac{1}{x} = -3$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -3$.
График функции $y = \frac{1}{x}$ – это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.
График функции $y = -3$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -3)$.
Прямая $y=-3$ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в III четверти, в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения.
Из уравнения $\frac{1}{x} = -3$ находим $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

8) Для графического решения уравнения $\frac{3}{x} = 2,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = 2,5$.
График функции $y = \frac{3}{x}$ – это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Она похожа на график $y = \frac{1}{x}$, но "растянута" от осей в 3 раза.
График функции $y = 2,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 2,5)$.
Прямая $y=2,5$ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в I четверти, в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения.
Из уравнения $\frac{3}{x} = 2,5$ находим $x = \frac{3}{2,5} = \frac{3}{5/2} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Ответ: $x = 1,2$.