Страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Назвать допустимые значения буквы, входящей в алгебраическую дробь:

1) $\frac{27}{x}$;

2) $\frac{3x - 2}{2x - 3}$;

3) $\frac{2a}{a^2 + 4}$;

4) $\frac{5 - c}{c^2 - 6c + 9}$.

Допустимые значения буквы (переменной), входящей в алгебраическую дробь, — это все значения, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль. Чтобы найти эти значения, для каждой дроби нужно приравнять её знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Значения, которые являются корнями этого уравнения, и будут недопустимыми.

1) В дроби $\frac{27}{x}$ знаменатель равен $x$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Ответ: $x$ – любое число, кроме 0.

2) В дроби $\frac{3x - 2}{2x - 3}$ знаменатель равен $2x - 3$. Найдем значение $x$, которое обращает знаменатель в ноль:
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Это значение является недопустимым.
Ответ: $x$ – любое число, кроме 1.5.

3) В дроби $\frac{2a}{a^2 + 4}$ знаменатель равен $a^2 + 4$. Поскольку квадрат любого действительного числа $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \geq 0$), то сумма $a^2 + 4$ всегда будет больше или равна 4 ($a^2 + 4 \geq 4$). Следовательно, знаменатель никогда не может быть равен нулю. Поэтому для переменной $a$ допустимы любые значения.
Ответ: $a$ – любое число.

4) В дроби $\frac{5 - c}{c^2 - 6c + 9}$ знаменатель равен $c^2 - 6c + 9$. Найдем значение $c$, при котором знаменатель равен нулю. Выражение в знаменателе является полным квадратом разности: $c^2 - 6c + 9 = (c - 3)^2$.
Приравняем знаменатель к нулю:
$(c - 3)^2 = 0$
$c - 3 = 0$
$c = 3$
Это значение является недопустимым.
Ответ: $c$ – любое число, кроме 3.

4. При каких значениях $x$ функция $y=x^2$ принимает положительные значения; значения из промежутка $[1; 4]$?

положительные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y=x^2$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Подставим выражение для функции в неравенство:

$x^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только при $x = 0$. Следовательно, строгое неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$, кроме $x = 0$.

Это можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

значения из промежутка [1; 4]

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y=x^2$ принимает значения из промежутка $[1; 4]$, необходимо решить двойное неравенство $1 \le y \le 4$.

Подставим выражение для функции:

$1 \le x^2 \le 4$

Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 \ge 1$:

$x^2 - 1 \ge 0$

$(x-1)(x+1) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 \le 4$:

$x^2 - 4 \le 0$

$(x-2)(x+2) \le 0$

Решением этого неравенства является промежуток $x \in [-2; 2]$.

Теперь найдем пересечение полученных решений, так как оба неравенства должны выполняться одновременно. Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и $[-2; 2]$.

Пересечение этих множеств состоит из двух интервалов: $[-2; -1]$ и $[1; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.

5. При каких значениях $x$ функция $y=x^3$ принимает отрицательные значения; значения из промежутка $(0; 8]$?

отрицательные значения:

Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = x^3$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Подставляем в неравенство выражение для функции:
$x^3 < 0$

Функция возведения в куб сохраняет знак аргумента. Это означает, что куб числа будет отрицательным тогда и только тогда, когда само число отрицательно.
Следовательно, решением неравенства $x^3 < 0$ является $x < 0$.

Запишем это решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

значения из промежутка (0; 8]:

Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = x^3$ принимает значения из промежутка $(0; 8]$, необходимо решить двойное неравенство $0 < y \le 8$.

Подставляем в неравенство выражение для функции:
$0 < x^3 \le 8$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы из двух неравенств:
1) $x^3 > 0$
2) $x^3 \le 8$

Решаем первое неравенство: $x^3 > 0$. Как и в предыдущем пункте, куб числа положителен тогда и только тогда, когда само число положительно. Отсюда следует, что $x > 0$.

Решаем второе неравенство: $x^3 \le 8$. Для нахождения $x$ извлечем кубический корень из обеих частей неравенства. Функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ является строго возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$\sqrt[3]{x^3} \le \sqrt[3]{8}$
$x \le 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 0$ и $x \le 2$. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше 0 и не больше 2.

Объединив эти условия, получаем двойное неравенство для $x$: $0 < x \le 2$.

Запишем это решение в виде интервала: $x \in (0; 2]$.

Ответ: $x \in (0; 2]$.

356. Пользуясь графиком функции $y=\frac{6}{x}$ (рис. 39):

1) найти приближённое значение функции при: $x=1,5; x=3,5; x=5; x=7; x=-1,2; x=-2,3; x=-5; x=-9;$

2) найти приближённое значение аргумента, если значение функции $y=-5; y=-10; y=-7; y=-2,5; y=3,8; y=1,6; y=8; y=11;$

3) определить, при каких значениях $x$ график функции расположен: а) выше прямой $y=3; y=4;$ б) ниже прямой $y=-2; y=-6;$

4) сравнить: $y(-5,3)$ и $y(-5,1); y(-3\frac{1}{2})$ и $y(-3\frac{1}{3}); y(7)$ и $y(8); y(9\frac{1}{3})$ и $y(9\frac{3}{4}).$

Поскольку в задании требуется найти приближенные значения по графику, а сам график (рис. 39) отсутствует, мы решим задачу аналитически, используя формулу функции $y=\frac{6}{x}$. Полученные значения будут точными или, при необходимости, округленными до двух знаков после запятой.

1) Для нахождения значения функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, подставим $x$ в формулу $y = \frac{6}{x}$:
при $x = 1,5$: $y = \frac{6}{1,5} = 4$;
при $x = 3,5$: $y = \frac{6}{3,5} = \frac{12}{7} \approx 1,71$;
при $x = 5$: $y = \frac{6}{5} = 1,2$;
при $x = 7$: $y = \frac{6}{7} \approx 0,86$;
при $x = -1,2$: $y = \frac{6}{-1,2} = -5$;
при $x = -2,3$: $y = \frac{6}{-2,3} = -\frac{60}{23} \approx -2,61$;
при $x = -5$: $y = \frac{6}{-5} = -1,2$;
при $x = -9$: $y = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3} \approx -0,67$.
Ответ: $y(1,5)=4$; $y(3,5)\approx1,71$; $y(5)=1,2$; $y(7)\approx0,86$; $y(-1,2)=-5$; $y(-2,3)\approx-2,61$; $y(-5)=-1,2$; $y(-9)\approx-0,67$.

2) Для нахождения значения аргумента $x$ при заданном значении функции $y$, выразим $x$ из формулы: $x = \frac{6}{y}$.
при $y = -5$: $x = \frac{6}{-5} = -1,2$;
при $y = -10$: $x = \frac{6}{-10} = -0,6$;
при $y = -7$: $x = \frac{6}{-7} \approx -0,86$;
при $y = -2,5$: $x = \frac{6}{-2,5} = -2,4$;
при $y = 3,8$: $x = \frac{6}{3,8} = \frac{30}{19} \approx 1,58$;
при $y = 1,6$: $x = \frac{6}{1,6} = 3,75$;
при $y = 8$: $x = \frac{6}{8} = 0,75$;
при $y = 11$: $x = \frac{6}{11} \approx 0,55$.
Ответ: при $y=-5, x=-1,2$; при $y=-10, x=-0,6$; при $y=-7, x\approx-0,86$; при $y=-2,5, x=-2,4$; при $y=3,8, x\approx1,58$; при $y=1,6, x=3,75$; при $y=8, x=0,75$; при $y=11, x\approx0,55$.

3) Определим, при каких значениях $x$ график функции расположен выше или ниже заданных прямых, решив соответствующие неравенства.
а) График расположен выше прямой (т.е. $y$ больше).
Выше прямой $y=3$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} > 3$. Переносим 3 в левую часть: $\frac{6}{x} - 3 > 0 \implies \frac{6-3x}{x} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (0; 2)$.
Выше прямой $y=4$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} > 4$. Аналогично, $\frac{6}{x} - 4 > 0 \implies \frac{6-4x}{x} > 0$. Решением является интервал $x \in (0; 1,5)$.
б) График расположен ниже прямой (т.е. $y$ меньше).
Ниже прямой $y=-2$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} < -2$. Переносим -2 в левую часть: $\frac{6}{x} + 2 < 0 \implies \frac{6+2x}{x} < 0$. Решением является интервал $x \in (-3; 0)$.
Ниже прямой $y=-6$: нужно решить неравенство $\frac{6}{x} < -6$. Аналогично, $\frac{6}{x} + 6 < 0 \implies \frac{6+6x}{x} < 0$. Решением является интервал $x \in (-1; 0)$.
Ответ: а) график выше прямой $y=3$ при $x \in (0; 2)$; выше прямой $y=4$ при $x \in (0; 1,5)$; б) график ниже прямой $y=-2$ при $x \in (-3; 0)$; ниже прямой $y=-6$ при $x \in (-1; 0)$.

4) Для сравнения значений функции $y = \frac{6}{x}$ воспользуемся свойством её монотонности. Функция $y = \frac{6}{x}$ является убывающей на каждом из своих промежутков определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из одного промежутка, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) > y(x_2)$.
- Сравним $y(-5,3)$ и $y(-5,1)$. Аргументы $-5,3$ и $-5,1$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. Так как $-5,3 < -5,1$, то, согласно свойству убывающей функции, $y(-5,3) > y(-5,1)$.
- Сравним $y(-3\frac{1}{2})$ и $y(-3\frac{1}{3})$. Аргументы $-3\frac{1}{2} = -3,5$ и $-3\frac{1}{3} \approx -3,33$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. Так как $-3\frac{1}{2} < -3\frac{1}{3}$, то $y(-3\frac{1}{2}) > y(-3\frac{1}{3})$.
- Сравним $y(7)$ и $y(8)$. Аргументы $7$ и $8$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$. Так как $7 < 8$, то $y(7) > y(8)$.
- Сравним $y(9\frac{1}{3})$ и $y(9\frac{3}{4})$. Аргументы $9\frac{1}{3}$ и $9\frac{3}{4}$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$. Так как $9\frac{1}{3} < 9\frac{3}{4}$, то $y(9\frac{1}{3}) > y(9\frac{3}{4})$.
Ответ: $y(-5,3) > y(-5,1)$; $y(-3\frac{1}{2}) > y(-3\frac{1}{3})$; $y(7) > y(8)$; $y(9\frac{1}{3}) > y(9\frac{3}{4})$.

357. На рисунке 41 изображён график зависимости времени ($t, \text{ ч}$), затрачиваемого на путь между посёлками $M$ и $N$, от скорости движения скутера ($v, \text{ км/ч}$) на промежутке $[5; 60]$. С помощью этого графика ответить на вопросы:

1) Сколько времени потребуется на путь от $M$ до $N$ при скорости движения 10 км/ч; 15 км/ч; 40 км/ч; 50 км/ч?

2) С какой скоростью должен двигаться скутер, чтобы преодолеть расстояние от $M$ до $N$ за 2 ч; за 3,5 ч?

3) Каково расстояние от $M$ до $N$?

Рис. 41

В основе решения лежит анализ представленного графика. График показывает зависимость времени $t$, затрачиваемого на путь, от скорости движения $v$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью и описывается формулой $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — постоянное расстояние между посёлками M и N.

Для начала определим это расстояние. Для этого возьмём любую точку на графике, координаты которой легко считываются. Например, точке со скоростью $v = 10$ км/ч соответствует время $t = 12$ ч. Зная это, мы можем вычислить расстояние $S$ по формуле $S = v \cdot t$.

$S = 10 \text{ км/ч} \cdot 12 \text{ ч} = 120 \text{ км}$.

Для проверки можно взять другую точку, например, $v = 20$ км/ч и $t = 6$ ч:

$S = 20 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 120 \text{ км}$.

Расстояние $S$ составляет 120 км. Теперь, зная точную формулу зависимости $t = \frac{120}{v}$, мы можем точно ответить на все вопросы.

1) Для нахождения времени, требуемого на путь при заданной скорости, воспользуемся формулой $t = \frac{120}{v}$.

• При скорости $v = 10$ км/ч: $t = \frac{120}{10} = 12$ ч.
• При скорости $v = 15$ км/ч: $t = \frac{120}{15} = 8$ ч.
• При скорости $v = 40$ км/ч: $t = \frac{120}{40} = 3$ ч.
• При скорости $v = 50$ км/ч: $t = \frac{120}{50} = 2,4$ ч.

Эти же значения можно найти, считывая их непосредственно с графика.

Ответ: при скорости 10 км/ч – 12 часов; при 15 км/ч – 8 часов; при 40 км/ч – 3 часа; при 50 км/ч – 2,4 часа.

2) Для нахождения скорости, с которой нужно двигаться, чтобы преодолеть расстояние за заданное время, воспользуемся формулой $v = \frac{S}{t} = \frac{120}{t}$.

• Чтобы преодолеть расстояние за $t = 2$ ч: $v = \frac{120}{2} = 60$ км/ч.
• Чтобы преодолеть расстояние за $t = 3,5$ ч: $v = \frac{120}{3,5} = \frac{1200}{35} = \frac{240}{7} \approx 34,3$ км/ч.

Ответ: для преодоления расстояния за 2 часа скутер должен двигаться со скоростью 60 км/ч; для преодоления за 3,5 часа – со скоростью примерно 34,3 км/ч.

3) Расстояние от M до N было вычислено в самом начале на основе данных, взятых с графика. Мы использовали точки $(10; 12)$ и $(20; 6)$ для расчёта и проверки. В обоих случаях расстояние получилось одинаковым.

$S = v \cdot t = 120$ км.

Ответ: расстояние от M до N составляет 120 км.