Страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

361. Вычислить:

1) $(\frac{1}{6})^{-5} \cdot (\frac{1}{6})^3;$
2) $(-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{1}{4})^{-3};$
3) $(-0,2)^5 \cdot (-0,2)^6;$
4) $(-0,1)^{-10} \cdot (-0,1)^6;$
5) $5^7 : 5^9;$
6) $7^{-3} : 7^{-5};$
7) $(\frac{2}{3})^4 : (\frac{2}{3})^7;$
8) $(1\frac{1}{2})^5 : (1\frac{1}{2})^9;$
9) $\frac{3^{-3} \cdot 3^7}{3^2};$
10) $\frac{5^0 \cdot 5^9 \cdot 5^{-4}}{5^4};$
11) $\frac{11^{15} \cdot 11^{-4}}{11^{-6} \cdot 11^{19}};$
12) $\frac{0,8^5 \cdot 0,8^{-7}}{0,8^{-4} \cdot 0,8^4}.$

1) $(\frac{1}{6})^{-5} \cdot (\frac{1}{6})^3$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a = \frac{1}{6}$.

$(\frac{1}{6})^{-5} \cdot (\frac{1}{6})^3 = (\frac{1}{6})^{-5+3} = (\frac{1}{6})^{-2}$

Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{6})^{-2} = (\frac{6}{1})^2 = 6^2 = 36$

Ответ: $36$

2) $(-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{1}{4})^{-3}$

Первый множитель можно представить в виде степени: $(-\frac{1}{4}) = (-\frac{1}{4})^1$. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(-\frac{1}{4})^1 \cdot (-\frac{1}{4})^{-3} = (-\frac{1}{4})^{1+(-3)} = (-\frac{1}{4})^{-2}$

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(-\frac{1}{4})^{-2} = (-\frac{4}{1})^2 = (-4)^2 = 16$

Ответ: $16$

3) $(-0,2)^5 \cdot (-0,2)^6$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(-0,2)^5 \cdot (-0,2)^6 = (-0,2)^{5+6} = (-0,2)^{11}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

$(-\frac{1}{5})^{11} = -(\frac{1}{5})^{11} = -\frac{1^{11}}{5^{11}} = -\frac{1}{5^{11}}$

Вычислим знаменатель: $5^{11} = 48828125$.

Результат: $-\frac{1}{48828125}$.

Ответ: $-\frac{1}{48828125}$

4) $(-0,1)^{-10} \cdot (-0,1)^6$

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(-0,1)^{-10} \cdot (-0,1)^6 = (-0,1)^{-10+6} = (-0,1)^{-4}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,1 = -\frac{1}{10}$.

$(-\frac{1}{10})^{-4} = (-\frac{10}{1})^4 = (-10)^4 = 10000$

Ответ: $10000$

5) $5^7 : 5^9$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$5^7 : 5^9 = 5^{7-9} = 5^{-2}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$

6) $7^{-3} : 7^{-5}$

Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$7^{-3} : 7^{-5} = 7^{-3 - (-5)} = 7^{-3+5} = 7^2$

$7^2 = 49$

Ответ: $49$

7) $(\frac{2}{3})^4 : (\frac{2}{3})^7$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(\frac{2}{3})^4 : (\frac{2}{3})^7 = (\frac{2}{3})^{4-7} = (\frac{2}{3})^{-3}$

Применяем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

Ответ: $\frac{27}{8}$

8) $(1\frac{1}{2})^5 : (1\frac{1}{2})^9$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{3}{2})^5 : (\frac{3}{2})^9$.

Используем свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(\frac{3}{2})^{5-9} = (\frac{3}{2})^{-4}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$

Ответ: $\frac{16}{81}$

9) $\frac{3^{-3} \cdot 3^7}{3^2}$

Сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{-3} \cdot 3^7 = 3^{-3+7} = 3^4$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{3^4}{3^2}$.

Используем свойство деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2 = 9$

Ответ: $9$

10) $\frac{5^0 \cdot 5^9 \cdot 5^{-4}}{5^4}$

Упростим числитель. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, т.е. $5^0 = 1$.

$5^0 \cdot 5^9 \cdot 5^{-4} = 1 \cdot 5^{9+(-4)} = 5^5$

Подставим в исходное выражение: $\frac{5^5}{5^4}$.

Применим свойство деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{5^5}{5^4} = 5^{5-4} = 5^1 = 5$

Ответ: $5$

11) $\frac{11^{15} \cdot 11^{-4}}{11^{-6} \cdot 11^{19}}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель: $11^{15} \cdot 11^{-4} = 11^{15+(-4)} = 11^{11}$.

Знаменатель: $11^{-6} \cdot 11^{19} = 11^{-6+19} = 11^{13}$.

Получим дробь: $\frac{11^{11}}{11^{13}}$.

Применим свойство деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{11^{11}}{11^{13}} = 11^{11-13} = 11^{-2} = \frac{1}{11^2} = \frac{1}{121}$

Ответ: $\frac{1}{121}$

12) $\frac{0,8^5 \cdot 0,8^{-7}}{0,8^{-4} \cdot 0,8^4}$

Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель: $0,8^5 \cdot 0,8^{-7} = 0,8^{5+(-7)} = 0,8^{-2}$.

Знаменатель: $0,8^{-4} \cdot 0,8^4 = 0,8^{-4+4} = 0,8^0 = 1$.

Получим выражение: $\frac{0,8^{-2}}{1} = 0,8^{-2}$.

Представим $0,8$ в виде обыкновенной дроби: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Вычислим: $(\frac{4}{5})^{-2} = (\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$.

Ответ: $\frac{25}{16}$

362. Возвести в степень:

1) $(3a^{-5})^2$;

2) $(4b^3)^{-2}$;

3) $(a^{-6}b)^{-4}$;

4) $(a^5b^{-3})^4$;

5) $\left(\frac{x^3}{y^5}\right)^{-3}$;

6) $\left(\frac{m^{-2}}{n^{-7}}\right)^{-5}$;

7) $\left(\frac{3x^6}{5y^{-3}}\right)^2$;

8) $\left(\frac{3x^{-7}}{4y^9}\right)^3$.

1) Чтобы возвести произведение $(3a^{-5})$ в степень 2, нужно каждый множитель возвести в эту степень, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Затем для степенного выражения применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3a^{-5})^2 = 3^2 \cdot (a^{-5})^2 = 9 \cdot a^{-5 \cdot 2} = 9a^{-10}$.
Далее, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем результат:
$9a^{-10} = \frac{9}{a^{10}}$.
Ответ: $\frac{9}{a^{10}}$

2) Для выражения $(4b^3)^{-2}$ применим те же свойства, что и в первом примере.
$(4b^3)^{-2} = 4^{-2} \cdot (b^3)^{-2}$.
Вычисляем каждый множитель отдельно: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$ и $(b^3)^{-2} = b^{3 \cdot (-2)} = b^{-6}$.
$b^{-6} = \frac{1}{b^6}$.
Собираем все вместе: $4^{-2} \cdot b^{-6} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{b^6} = \frac{1}{16b^6}$.
Ответ: $\frac{1}{16b^6}$

3) Возводим в степень $-4$ произведение $(a^{-6}b)$.
$(a^{-6}b)^{-4} = (a^{-6})^{-4} \cdot b^{-4}$.
Применяем правило возведения степени в степень: $(a^{-6})^{-4} = a^{-6 \cdot (-4)} = a^{24}$.
Получаем: $a^{24} \cdot b^{-4}$.
Избавляемся от отрицательной степени: $a^{24} \cdot \frac{1}{b^4} = \frac{a^{24}}{b^4}$.
Ответ: $\frac{a^{24}}{b^4}$

4) Возводим в степень 4 произведение $(a^5b^{-3})$.
$(a^5b^{-3})^4 = (a^5)^4 \cdot (b^{-3})^4$.
Вычисляем степени: $(a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20}$ и $(b^{-3})^4 = b^{-3 \cdot 4} = b^{-12}$.
Получаем: $a^{20}b^{-12}$.
Переписываем в виде дроби: $a^{20} \cdot \frac{1}{b^{12}} = \frac{a^{20}}{b^{12}}$.
Ответ: $\frac{a^{20}}{b^{12}}$

5) Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, можно перевернуть дробь и поменять знак степени на противоположный: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{x^3}{y^5})^{-3} = (\frac{y^5}{x^3})^3$.
Теперь возводим в степень числитель и знаменатель по правилу $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\frac{(y^5)^3}{(x^3)^3} = \frac{y^{5 \cdot 3}}{x^{3 \cdot 3}} = \frac{y^{15}}{x^9}$.
Ответ: $\frac{y^{15}}{x^9}$

6) Для возведения дроби $(\frac{m^{-2}}{n^{-7}})$ в степень $-5$ используем правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{m^{-2}}{n^{-7}})^{-5} = \frac{(m^{-2})^{-5}}{(n^{-7})^{-5}}$.
Возводим в степень числитель и знаменатель:
$(m^{-2})^{-5} = m^{-2 \cdot (-5)} = m^{10}$.
$(n^{-7})^{-5} = n^{-7 \cdot (-5)} = n^{35}$.
Результат: $\frac{m^{10}}{n^{35}}$.
Ответ: $\frac{m^{10}}{n^{35}}$

7) Возводим дробь $(\frac{3x^6}{5y^{-3}})$ в степень 2.
$(\frac{3x^6}{5y^{-3}})^2 = \frac{(3x^6)^2}{(5y^{-3})^2}$.
Возводим в степень числитель: $(3x^6)^2 = 3^2 \cdot (x^6)^2 = 9x^{12}$.
Возводим в степень знаменатель: $(5y^{-3})^2 = 5^2 \cdot (y^{-3})^2 = 25y^{-6}$.
Получаем дробь: $\frac{9x^{12}}{25y^{-6}}$.
Избавляемся от отрицательной степени в знаменателе, перемещая множитель в числитель с положительной степенью: $\frac{9x^{12}y^6}{25}$.
Ответ: $\frac{9x^{12}y^6}{25}$

8) Возводим дробь $(\frac{3x^{-7}}{4y^9})$ в степень 3.
$(\frac{3x^{-7}}{4y^9})^3 = \frac{(3x^{-7})^3}{(4y^9)^3}$.
Возводим в степень числитель: $(3x^{-7})^3 = 3^3 \cdot (x^{-7})^3 = 27x^{-21}$.
Возводим в степень знаменатель: $(4y^9)^3 = 4^3 \cdot (y^9)^3 = 64y^{27}$.
Получаем дробь: $\frac{27x^{-21}}{64y^{27}}$.
Избавляемся от отрицательной степени в числителе, перемещая множитель в знаменатель с положительной степенью: $\frac{27}{64y^{27}x^{21}}$.
Запишем в алфавитном порядке переменных: $\frac{27}{64x^{21}y^{27}}$.
Ответ: $\frac{27}{64x^{21}y^{27}}$