Страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Построить:

1) график функции $y = x^2$ на промежутке $[-1; 2];$

2) график функции $y = x^3$ на промежутке $[-2; 2].$

1) график функции y = x² на промежутке [-1; 2];

Функция $y = x^2$ представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх. Нам необходимо построить часть этой параболы, ограниченную промежутком $x \in [-1; 2]$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих этому промежутку. Обязательно вычислим значения функции на концах промежутка.
При $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$. Получаем точку (-1, 1).
При $x = 0$: $y = 0^2 = 0$. Получаем точку (0, 0).
При $x = 1$: $y = 1^2 = 1$. Получаем точку (1, 1).
При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$. Получаем точку (2, 4).

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой линией, помня о форме параболы. Так как промежуток $[-1; 2]$ включает в себя концы, то точки (-1, 1) и (2, 4) являются крайними точками построенного отрезка кривой. График начинается в точке (-1, 1), опускается до вершины в (0, 0), а затем поднимается до точки (2, 4).

Ответ: График функции $y = x^2$ на промежутке $[-1; 2]$ — это фрагмент параболы с вершиной в точке (0, 0), начинающийся в точке (-1, 1) и заканчивающийся в точке (2, 4).

2) график функции y = x³ на промежутке [-2; 2].

Функция $y = x^3$ называется кубической параболой. Она является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат (0, 0), которое также является точкой перегиба. Нам нужно построить график этой функции на промежутке $x \in [-2; 2]$.

Составим таблицу значений для нескольких точек на данном промежутке, включая его концы.
При $x = -2$: $y = (-2)^3 = -8$. Получаем точку (-2, -8).
При $x = -1$: $y = (-1)^3 = -1$. Получаем точку (-1, -1).
При $x = 0$: $y = 0^3 = 0$. Получаем точку (0, 0).
При $x = 1$: $y = 1^3 = 1$. Получаем точку (1, 1).
При $x = 2$: $y = 2^3 = 8$. Получаем точку (2, 8).

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График будет начинаться в точке (-2, -8), подниматься, проходя через точку (-1, -1) и точку перегиба (0, 0), а затем продолжит свой рост через точку (1, 1) до конечной точки (2, 8).

Ответ: График функции $y = x^3$ на промежутке $[-2; 2]$ — это фрагмент кубической параболы, который симметричен относительно начала координат, начинается в точке (-2, -8) и заканчивается в точке (2, 8).

4. Упростить выражение $(2x^{-4} - 5x^{-3}y) \cdot x^3$ и найти его значение при $x=6$ и $y=-0,4$.

Упростить выражение

Сначала необходимо раскрыть скобки, умножив каждый член в скобках на $x^3$. Для этого используется свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(2x^{-4} - 5x^{-3}y) \cdot x^3 = 2x^{-4} \cdot x^3 - 5x^{-3}y \cdot x^3$

Упростим каждый член выражения по отдельности:

Первый член: $2x^{-4} \cdot x^3 = 2x^{-4+3} = 2x^{-1}$.

Второй член: $5x^{-3}y \cdot x^3 = 5(x^{-3} \cdot x^3)y = 5x^{-3+3}y = 5x^0y$.

Так как любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице ($x^0 = 1$), а также по определению степени с отрицательным показателем $x^{-1} = \frac{1}{x}$, получаем следующее упрощенное выражение:

$2x^{-1} - 5x^0y = 2 \cdot \frac{1}{x} - 5 \cdot 1 \cdot y = \frac{2}{x} - 5y$

Найти его значение при $x=6$ и $y=-0,4$

Теперь подставим данные значения $x=6$ и $y=-0,4$ в упрощенное выражение $\frac{2}{x} - 5y$.

$\frac{2}{6} - 5 \cdot (-0,4)$

Выполним вычисления по действиям:

1. Сократим дробь: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2. Вычислим произведение: $5 \cdot (-0,4) = -2$.

3. Подставим полученные значения в выражение и выполним вычитание:

$\frac{1}{3} - (-2) = \frac{1}{3} + 2$

Для сложения представим 2 в виде дроби со знаменателем 3:

$\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{1+6}{3} = \frac{7}{3}$

Данный результат можно также представить в виде смешанной дроби $2\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

5. Результат вычислений записать в стандартном виде:

$(7,3 \cdot 10^{-8}) \cdot (5 \cdot 10^{-3}).$

Чтобы найти произведение двух чисел, записанных в стандартном виде, необходимо сгруппировать и перемножить отдельно их мантиссы (числа перед степенью десяти) и отдельно степени десяти, используя свойство коммутативности (переместительности) умножения.

Исходное выражение: $(7,3 \cdot 10^{-8}) \cdot (5 \cdot 10^{-3})$.

Сгруппируем множители: $(7,3 \cdot 5) \cdot (10^{-8} \cdot 10^{-3})$

1. Вычислим произведение мантисс:

$7,3 \cdot 5 = 36,5$

2. Вычислим произведение степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$10^{-8} \cdot 10^{-3} = 10^{-8 + (-3)} = 10^{-11}$

Объединим полученные результаты:

$36,5 \cdot 10^{-11}$

Теперь необходимо записать полученное число в стандартном виде. Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

В нашем результате $36,5 \cdot 10^{-11}$ мантисса $36,5$ больше $10$, поэтому выражение не находится в стандартном виде. Преобразуем мантиссу $36,5$, представив ее в стандартном виде:

$36,5 = 3,65 \cdot 10^1$

Подставим это выражение обратно в наш результат:

$(3,65 \cdot 10^1) \cdot 10^{-11}$

Снова воспользуемся свойством умножения степеней:

$3,65 \cdot 10^{1 + (-11)} = 3,65 \cdot 10^{-10}$

Полученное число $3,65 \cdot 10^{-10}$ записано в стандартном виде, так как мантисса $3,65$ удовлетворяет условию $1 \le 3,65 < 10$.

Ответ: $3,65 \cdot 10^{-10}$

6. Решить графически уравнение

$-\frac{1}{x}=2x+1.$

Для решения уравнения $\frac{1}{x} = 2x + 1$ графическим способом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x}$ и $y = 2x + 1$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями уравнения.

1. Построение графика функции $y = \frac{1}{x}$

Графиком данной функции является гипербола. Она состоит из двух ветвей, которые расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$. Составим таблицу значений для построения графика:

• при $x = -2$, $y = -0.5$
• при $x = -1$, $y = -1$
• при $x = -0.5$, $y = -2$
• при $x = 0.5$, $y = 2$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 0.5$

2. Построение графика функции $y = 2x + 1$

Графиком данной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. Найдем точки, в которых графики пересекаются. Из графика видно, что существует две точки пересечения:

• Точка A с координатами $(-1, -1)$.
• Точка B с координатами $(0.5, 2)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0.5$.

Выполним проверку найденных решений:

Для $x = -1$:

$\frac{1}{-1} = 2(-1) + 1$

$-1 = -2 + 1$

$-1 = -1$ (верно)

Для $x = 0.5$:

$\frac{1}{0.5} = 2(0.5) + 1$

$2 = 1 + 1$

$2 = 2$ (верно)

Решения найдены верно.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 0.5$.

7. Упростить $(a^{-3}-b^{-3}) : (a^{-1}-b^{-1}) \cdot a^2b^2 + ab.$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку, соблюдая их приоритет: сначала действия в скобках, затем деление и умножение (слева направо), и в конце сложение.

Исходное выражение: $(a^{-3} - b^{-3}) : (a^{-1} - b^{-1}) \cdot a^2b^2 + ab$.

1. Упростим выражение в первых скобках $(a^{-3} - b^{-3})$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем:

$a^{-3} - b^{-3} = \frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}$

Приводим дроби к общему знаменателю $a^3b^3$:

$\frac{1 \cdot b^3}{a^3 \cdot b^3} - \frac{1 \cdot a^3}{b^3 \cdot a^3} = \frac{b^3 - a^3}{a^3b^3}$

2. Упростим выражение во вторых скобках $(a^{-1} - b^{-1})$.

Аналогично первому шагу:

$a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Приводим дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b - a}{ab}$

3. Выполним деление результатов шагов 1 и 2.

$(a^{-3} - b^{-3}) : (a^{-1} - b^{-1}) = \frac{b^3 - a^3}{a^3b^3} : \frac{b - a}{ab}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{b^3 - a^3}{a^3b^3} \cdot \frac{ab}{b - a}$

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для числителя $b^3 - a^3$:

$b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$

Подставим разложенное выражение в нашу дробь:

$\frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2)}{a^3b^3} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2)ab}{a^3b^3(b - a)}$

Сократим одинаковый множитель $(b - a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(b^2 + ab + a^2)ab}{a^3b^3}$

Теперь сократим степени переменных $a$ и $b$:

$\frac{a^2 + ab + b^2}{a^{3-1}b^{3-1}} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2}$

4. Умножим полученный результат на $a^2b^2$.

$\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2} \cdot a^2b^2$

Сокращаем $a^2b^2$ в числителе и знаменателе:

$a^2 + ab + b^2$

5. Выполним сложение с последним членом исходного выражения.

$(a^2 + ab + b^2) + ab = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Ответ: $(a + b)^2$.

8. Вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого $4,2 \cdot 10^{-4}$ км, $8 \cdot 10^{-5}$ км и $5 \cdot 10^{-4}$ км.

Ответ дать в кубических метрах.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо перемножить три его измерения: длину, ширину и высоту. Формула для объёма $V$ выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $a, b, c$ — измерения параллелепипеда.

В условии задачи даны измерения в километрах (км), а ответ требуется дать в кубических метрах (м³). Поэтому первым шагом переведем все измерения из километров в метры. Мы знаем, что в одном километре 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$

Переведем каждое измерение:

1. Первое измерение: $a = 4,2 \cdot 10^{-4} \text{ км}$

$a = (4,2 \cdot 10^{-4}) \cdot 10^3 \text{ м} = 4,2 \cdot 10^{-4+3} \text{ м} = 4,2 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 0,42 \text{ м}$

2. Второе измерение: $b = 8 \cdot 10^{-5} \text{ км}$

$b = (8 \cdot 10^{-5}) \cdot 10^3 \text{ м} = 8 \cdot 10^{-5+3} \text{ м} = 8 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,08 \text{ м}$

3. Третье измерение: $c = 5 \cdot 10^{-4} \text{ км}$

$c = (5 \cdot 10^{-4}) \cdot 10^3 \text{ м} = 5 \cdot 10^{-4+3} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 0,5 \text{ м}$

Теперь, когда все измерения выражены в метрах, мы можем вычислить объём в кубических метрах, перемножив полученные значения:

$V = a \cdot b \cdot c = 0,42 \cdot 0,08 \cdot 0,5$

Удобнее выполнить вычисления, используя стандартную форму записи чисел:

$V = (4,2 \cdot 10^{-1}) \cdot (8 \cdot 10^{-2}) \cdot (5 \cdot 10^{-1}) \text{ м}^3$

Сгруппируем множители:

$V = (4,2 \cdot 8 \cdot 5) \cdot (10^{-1} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-1}) \text{ м}^3$

Вычислим произведение чисел:

$4,2 \cdot 8 \cdot 5 = 4,2 \cdot 40 = 168$

Вычислим произведение степеней десяти (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются):

$10^{-1} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-1} = 10^{-1-2-1} = 10^{-4}$

Объединим результаты:

$V = 168 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Запишем ответ в виде десятичной дроби:

$V = 0,0168 \text{ м}^3$

Ответ: $0,0168 \text{ м}^3$

9. Решить графически неравенство:

1) $|x|>3;$

2) $x^2 \le 4.$

1) $|x| > 3$

Для графического решения неравенства $|x| > 3$ построим в одной системе координат графики двух функций: $y = |x|$ и $y = 3$.

1. График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

2. График функции $y = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку (0, 3) на оси ординат (Oy).

Решением неравенства будут те значения $x$, для которых график функции $y = |x|$ расположен выше графика функции $y = 3$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x| = 3$.
Это уравнение равносильно двум уравнениям: $x = 3$ и $x = -3$.
Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 3$.

Из графика видно, что ветви графика $y = |x|$ находятся выше прямой $y = 3$ на двух промежутках: когда $x$ меньше $-3$ и когда $x$ больше $3$. Так как неравенство строгое ($>$), точки $x = -3$ и $x = 3$ не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$

2) $x^2 \le 4$

Для графического решения неравенства $x^2 \le 4$ построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 4$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат (0, 0).

2. График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку (0, 4) на оси ординат (Oy).

Решением неравенства будут те значения $x$, для которых график функции $y = x^2$ расположен не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $y = 4$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 = 4$.
Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{4} = 2$ и $x_2 = -\sqrt{4} = -2$.
Следовательно, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

Из графика видно, что парабола $y = x^2$ находится ниже или на уровне прямой $y = 4$ на промежутке между точками пересечения. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), сами точки пересечения $x = -2$ и $x = 2$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-2, 2]$

10. Построить график функции $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 1; \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть два случая, в соответствии с условиями, наложенными на переменную $x$.

На интервале $(-\infty, 1)$ функция задается уравнением $y = x^3$. Это степенная функция, график которой — кубическая парабола. Для построения этой части графика найдем координаты нескольких контрольных точек:

• если $x = 0$, то $y = 0^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• если $x = -1$, то $y = (-1)^3 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• если $x = -2$, то $y = (-2)^3 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Важно обратить внимание на границу интервала. При $x$, стремящемся к $1$, значение $y$ стремится к $1^3 = 1$. Однако, поскольку неравенство строгое ($x < 1$), точка $(1, 1)$ не входит в эту часть графика. На чертеже это обозначается "выколотой" (пустой) точкой.

На интервале $[1, +\infty)$ функция задается уравнением $y = -x + 2$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек:

• Возьмем граничное значение $x=1$. При этом $y = -1 + 2 = 1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$), точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• Возьмем еще одну точку из этого интервала, например, $x=3$. Тогда $y = -3 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.

Таким образом, для $x \ge 1$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(3, -1)$.

Теперь объединим построенные части на одной координатной плоскости. Выколотая точка $(1, 1)$ от кубической параболы "закрашивается" начальной точкой луча, которая также является $(1, 1)$. Это означает, что в точке $x=1$ функция непрерывна. Итоговый график состоит из части кубической параболы $y=x^3$ слева от точки $(1, 1)$ и луча $y=-x+2$ начиная с этой точки.

Ответ:

График функции $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 1 \\ -x+2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ представлен на следующем рисунке.