Номер 10, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 10, страница 145.

Условие.

10. Построить график функции $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 1; \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 4.

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть два случая, в соответствии с условиями, наложенными на переменную $x$.

Построение графика на интервале $x < 1$

На интервале $(-\infty, 1)$ функция задается уравнением $y = x^3$. Это степенная функция, график которой — кубическая парабола. Для построения этой части графика найдем координаты нескольких контрольных точек:

• если $x = 0$, то $y = 0^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• если $x = -1$, то $y = (-1)^3 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• если $x = -2$, то $y = (-2)^3 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Важно обратить внимание на границу интервала. При $x$, стремящемся к $1$, значение $y$ стремится к $1^3 = 1$. Однако, поскольку неравенство строгое ($x < 1$), точка $(1, 1)$ не входит в эту часть графика. На чертеже это обозначается "выколотой" (пустой) точкой.

Построение графика на интервале $x \ge 1$

На интервале $[1, +\infty)$ функция задается уравнением $y = -x + 2$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек:

• Возьмем граничное значение $x=1$. При этом $y = -1 + 2 = 1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$), точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• Возьмем еще одну точку из этого интервала, например, $x=3$. Тогда $y = -3 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.

Таким образом, для $x \ge 1$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(3, -1)$.

Итоговый график

Теперь объединим построенные части на одной координатной плоскости. Выколотая точка $(1, 1)$ от кубической параболы "закрашивается" начальной точкой луча, которая также является $(1, 1)$. Это означает, что в точке $x=1$ функция непрерывна. Итоговый график состоит из части кубической параболы $y=x^3$ слева от точки $(1, 1)$ и луча $y=-x+2$ начиная с этой точки.

Ответ:

График функции $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 1 \\ -x+2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ представлен на следующем рисунке.