Номер 9, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 9, страница 145.

Условие.

9. Решить графически неравенство:

1) $|x|>3;$

2) $x^2 \le 4.$

Решение 1.

Решение 4.

1) $|x| > 3$

Для графического решения неравенства $|x| > 3$ построим в одной системе координат графики двух функций: $y = |x|$ и $y = 3$.

1. График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

2. График функции $y = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку (0, 3) на оси ординат (Oy).

Решением неравенства будут те значения $x$, для которых график функции $y = |x|$ расположен выше графика функции $y = 3$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x| = 3$.
Это уравнение равносильно двум уравнениям: $x = 3$ и $x = -3$.
Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 3$.

Из графика видно, что ветви графика $y = |x|$ находятся выше прямой $y = 3$ на двух промежутках: когда $x$ меньше $-3$ и когда $x$ больше $3$. Так как неравенство строгое ($>$), точки $x = -3$ и $x = 3$ не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$

2) $x^2 \le 4$

Для графического решения неравенства $x^2 \le 4$ построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 4$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат (0, 0).

2. График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку (0, 4) на оси ординат (Oy).

Решением неравенства будут те значения $x$, для которых график функции $y = x^2$ расположен не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $y = 4$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 = 4$.
Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{4} = 2$ и $x_2 = -\sqrt{4} = -2$.
Следовательно, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

Из графика видно, что парабола $y = x^2$ находится ниже или на уровне прямой $y = 4$ на промежутке между точками пересечения. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), сами точки пересечения $x = -2$ и $x = 2$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-2, 2]$