Номер 6, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 6, страница 145.

Условие.

6. Решить графически уравнение

$-\frac{1}{x}=2x+1.$

Решение 1.

Решение 4.

Для решения уравнения $\frac{1}{x} = 2x + 1$ графическим способом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x}$ и $y = 2x + 1$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями уравнения.

1. Построение графика функции $y = \frac{1}{x}$

Графиком данной функции является гипербола. Она состоит из двух ветвей, которые расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$. Составим таблицу значений для построения графика:

• при $x = -2$, $y = -0.5$
• при $x = -1$, $y = -1$
• при $x = -0.5$, $y = -2$
• при $x = 0.5$, $y = 2$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 0.5$

2. Построение графика функции $y = 2x + 1$

Графиком данной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. Найдем точки, в которых графики пересекаются. Из графика видно, что существует две точки пересечения:

• Точка A с координатами $(-1, -1)$.
• Точка B с координатами $(0.5, 2)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0.5$.

Выполним проверку найденных решений:

Для $x = -1$:

$\frac{1}{-1} = 2(-1) + 1$

$-1 = -2 + 1$

$-1 = -1$ (верно)

Для $x = 0.5$:

$\frac{1}{0.5} = 2(0.5) + 1$

$2 = 1 + 1$

$2 = 2$ (верно)

Решения найдены верно.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 0.5$.